7.3.1. Die hexagonal–dichteste Kugelpackung

Worum geht es ?

Es geht darum, wie Metalle und Edelgase kristallisieren. Wir benutzen dazu ein einfaches Modell. Die Atome sind in diesem Modell feste, starre und gleichgroße Kugeln. Sie können sie mit Tischtennisbällen oder den Kugeln eines Kugellagers vergleichen. In ein gegebenes Volumen sollen möglichst viele solcher Kugeln hineingepackt werden. Wie sind sie dann angeordnet, und welche Eigenschaften hat eine solche Anordnung von Kugeln ?

Diese Fragen werde ich zuerst anschaulich beantworten und dann mathematisch unterlegen.

Dazu ist der Abschnitt in Teile gegliedert.

Verstehen durch Ansehen

Beschreibung mit Mathematik

Interaktives Erkunden

7.3.1.1. Aufbau der Kugelpackung

 

 

 

Blick von oben auf eine Schicht Kugeln

Bild 1 : Blick von oben auf eine Schicht Kugeln.

In diesem Abschnitt geht es darum, wie man Kugeln möglichst dicht packt. Der erste Schritt ist wirklich einfach. In eine Ebene wird eine Schicht Kugeln hingelegt. Das sieht dann so aus wie in Bild 1. Sie sehen von oben auf die Kugelschicht. Die Kugeln liegen in Reihen, die jeweils um eine halbe Kugellänge gegeneinander versetzt sind.

Starten Sie die Jsmol–Visualisierung, in der Sie den Aufbau der hexagonal–dichtesten Kugelpackung in 9 Schritten nachvollziehen können, entsprechend den Bildern 1 bis 9.

 

eine Schicht Kugeln und Mulden

Bild 2 : Blick von oben auf eine Schicht Kugeln mit schwarz und weiß markierten Mulden.

Auch der zweite Schritt ist einfach. Auf die erste Schicht kommt eine zweite Schicht Kugeln. Natürlich legt man sie in die Mulden, die aus jeweils 3 Kugeln der ersten Schicht gebildet werden. Diese Mulden sind in Bild 2 markiert. Einige habe ich schwarz markiert, die anderen weiß. Und warum ?

 

Kugel in einer Mulde

Bild 3 : Auf einer schwarzen Markierung liegt die erste Kugel der zweiten Schicht.

Das sehen Sie in Bild 3, wenn die erste Kugel der zweiten Schicht gelegt wird. Ich habe sie auf eine schwarze Markierung gelegt. Die neue Kugel ist durchsichtig, damit Sie die Kugeln darunter und besonders die schwarze Markierung noch sehen können. Auf die benachbarten weißen Markierungen kann man nun keine Kugeln mehr legen. Sie sind zu nah an der schon liegenden Kugel. Erst auf die nächstfolgenden schwarzen Markierungen können wieder Kugeln gelegt werden.

 

3 Kugeln in gleich markierten Mulden

Bild 4 : Alle 3 Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen.

Reden wir nicht nur davon, tun wir es. In Bild 4 sind 2 weitere Kugeln der zweiten Schicht angekommen. Wie die zuvor dazugekommene Kugel sind auch die beiden neuen durchsichtig. Sie sehen, dass sie auf den schwarzen Markierungen liegen. Und sicher ist Ihnen schon klar, dass alle Kugeln der zweiten Schicht auf den schwarzen Markierungen liegen werden, und keine auf den weißen.

 

2 Schichten aus Kugeln

Bild 5 : Alle Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen.

Die zweite Kugelschicht ist nun vollständig. Niemand wird es wundern : alle Kugeln dieser Schicht liegen in den Mulden zwischen jeweils 3 Kugeln der ersten Schicht, und alle liegen auf den schwarzen Markierungen. Bild 5 zeigt die Situation.

 

 
 
2 Schichten aus Kugeln und eine weitere Kugel

Bild 6 : Von der dritten Schicht ist erst eine Kugel da.

Nun geht es an die dritte Schicht. Wo können die Kugeln dieser Schicht liegen ? Natürlich in den Mulden von jeweils 3 Kugeln der zweiten Schicht. Wie schon 4 Absätze weiter oben gibt es wieder 2 Möglichkeiten. Entweder können die neuen Kugeln über den weißen Markierungen liegen, die auf den Bildern links ja immer noch sichtbar sind. Oder sie können in den nicht markierten Mulden liegen, dort, wo die Kugeln der ersten Schicht durchscheinen. Bei der hexagonal–dichtesten Kugelpackung wird die zweite Möglichkeit realisiert. (Die andere Möglichkeit finden Sie in der kubisch–dichtesten Kugelpackung.) Die Kugeln der dritten Schicht liegen genau über denen der ersten Schicht. In Bild 6 ist erstmal eine einzige Kugel in der dritten Schicht angekommen. Obwohl sie wieder durchsichtig ist, können Sie die darunterliegende Kugel der ersten Schicht nicht wirklich gut sehen. Aber Sie wissen ja, was die neue Kugel verdeckt.

 

3 Schichten aus Kugeln

Bild 7 : Alle 5 Kugeln der dritten Schicht liegen über denen der ersten Schicht.

Die dritte Schicht wächst. In Bild 7 umfasst sie nun 5 Kugeln. Alle 5 liegen über den Kugeln der ersten Schicht. Die Kugeln der dritten (und später der vierten) Schicht haben eine rötliche Farbe. Der einzige Grund ist, sie optisch besser von den Kugeln der anderen Schichten unterscheiden zu können. In der Realität sind es natürlich Atome desselben Elements, die sich nicht weiter unterscheiden.

 

3 vollständige Schichten aus Kugeln

Bild 8 : Die dritte Schicht ist vollständig. Sie verdeckt die erste Schicht.

Die dritte Schicht ist nun vollständig. Jede Kugel dieser Schicht liegt über einer Kugel der ersten Schicht, so dass alle Kugeln der ersten Schicht verdeckt sind. Bild 8 zeigt die Situation.

 

4 Schichten aus Kugeln

Bild 9 : 4 Schichten von Kugeln liegen übereinander. Die Ansicht ist jetzt nicht von oben wie bei den vorigen Bildern, sondern von der Seite.

Der Kristall ist um eine weitere Schicht gewachsen. Ansichten von oben bringen inzwischen wenig, denn die Kugeln der unteren beiden Schichten wären vollständig verdeckt. Deshalb sehen Sie auf in Bild 9 eine Ansicht von der Seite. Die dritte Schicht liegt genau oberhalb der ersten, und die vierte genau oberhalb der zweiten.

Das Prinzip der hexagonal–dichtesten Kugelpackung ist nun klar. Die nächsten Schichten werden genauso auf die vorhandenen gelegt wie bisher. Über der ersten Schicht liegt die 3., die 5., die 7. und so weiter. Über der zweiten Schicht liegen die übrigen.

Schichtenfolge. – Das geordnete Aufeinanderfolgen von Kugelschichten nennt man eine Schichtenfolge. Die Schichten werden mit Großbuchstaben bezeichnet. Bei der Benennung der Schichten beginnt man unten und geht nach oben. Genau übereinander liegende Schichten bekommen denselben Buchstaben. Die hexagonal–dichteste Kugelpackung hat also (vgl. Bild 9) die Schichtenfolge ABABAB... , oder kurz AB.

Sie können den Aufbau der hexagonal–dichtesten Kugelpackung in 9 Schritten, entsprechend den Bildern im linken Teil dieser Seite, in einer Jsmol–Visualisierung nachvollziehen.

 

7.3.1.2. Nachbarn

Fußnote 1 : An anderen Stellen kann Nachbar eine ganz andere Bedeutung haben. Ausführliche Informationen zum Begriff des Nachbarn finden Sie in Kapitel xxx – demnächst.

Oft möchte man wissen, wieviele Nachbarn eine Kugel in einer Kugelpackung hat. Unter dem Begriff Nachbar soll hier verstanden werden, wieviele Kugeln eine gegebene Kugel berührt (→ Fußnote 1).

Fußnote 1 : An anderen Stellen kann Nachbar eine ganz andere Bedeutung haben. Ausführliche Informationen zum Begriff des Nachbarn finden Sie in Kapitel xxx – demnächst.

Kugel mit 6 Nachbarn

Bild 10 : Eine Schicht der hexagonal–dichtesten Kugelpackung. Die gegebene Kugel ist blau markiert.

Den ersten Teil der Antwort sehen Sie in Bild 10. Es ist Bild 1 ähnlich und zeigt wie dieses eine Schicht Kugeln der hexagonal–dichtesten Kugelpackung. Eine Kugel (ich nenne sie im folgenden die gegebene Kugel) ist blau markiert. Sie sehen sofort, dass in dieser Schicht 6 andere Kugeln die gegebene Kugel berühren. Wir haben also schon 6 Nachbarn gefunden.

Hat die gegebene Kugel noch mehr Nachbarn ? Und wo könnten sie liegen ?

 

Kugel mit 3 Nachbarn

Bild 11 : Die gegebene Kugel liegt (von den anderen Kugeln der eigenen Schicht getrennt) auf der darunter liegenden Schicht.

Den zweiten Teil der Antwort sehen Sie in Bild 11. Ich habe die gegebene (blau gezeichnete) Kugel aus dem vorigen Bild von allen Nachbarn der gleichen Schicht getrennt und sie dann (als einzelne Kugel) auf die darunter liegende Schicht gelegt. Bild 3 zeigt, was dabei passiert. Die Kugel kommt in einer Mulde aus 3 Kugeln zu liegen. Die gegebene Kugel berührt also 3 Kugeln aus der Schicht darunter. Wir haben 3 weitere Nachbarn gefunden, insgesamt sind es nun 9 Nachbarn

 

Kugel mit 3 anderen Nachbarn

Bild 12 : Die gegebene Kugel zusammen mit den anderen Kugeln der eigenen Schicht zu sehen, darüber 3 Kugeln einer weiteren Schicht, die über den schwarzen Markierungen liegen.

Weitere Nachbarn sollte man in der Schicht suchen, die über der gegebenen Kugel liegt. Bild 12 zeigt, was man findet. 3 Kugeln (transparent gezeichnet und doch die gegebene Kugel fast verdeckend) liegen über den schwarzen Markierungen. Bild 12 ist somit ähnlich zu Bild 4. Die 3 transparenten Kugeln berühren die gegebene Kugel. Wir haben 3 weitere Nachbarn gefunden, insgesamt sind es nun 12 Nachbarn.

 

Fazit. – In der hexagonal–dichtesten Kugelpackung hat jede Kugel 12 Nachbarn. 6 sind in der gleichen Schicht wie die gegebene Kugel, 3 in der Schicht darüber, und 3 in der Schicht darunter.

7.3.1.3. Tetraederlücken

Lücken zwischen den Atomen. – Sie wissen jetzt, wie die Atome gepackt sind. Aber was ist zwischen den Atomen ? Nichts. Naja, darüber kann man diskutieren. In Kapitel 3.7.9. finden Sie die Diskussion, soweit sie in diesem Buch geführt werden kann. Sicher kann man sagen : Dort, zwischen den Atomen, ist Platz. Man nennt den Raum zwischen den Atomen eine Lücke. In der hexagonal–dichtesten Kugelpackung gibt es 2 Arten von Lücken, nämlich die Tetraederlücken und die Oktaederlücken.

Sind Lücken wichtig ? – Würde ich sonst darüber schreiben ? Auf dieser Seite geht es darum, Kugeln einer Sorte möglichst dicht zu packen. Da sind Lücken weniger wichtig. Später wird es um die Kristallstrukturen von Verbindungen gehen. Dort werden Kugeln mehrerer Sorten (zum Beispiel positiv und negativ geladene Ionen) gepackt. Um solche Strukturen zu verstehen, ist es notwendig, Zahl, Lage und Größe der Lücken zu verstehen.

Mehr über Strukturen, die durch das Füllen der Lücken in dichtesten Kugelpackungen entstehen, erfahren Sie in Kapitel 7.4. (Ionenkristalle), in Kapitel 7.5. (Fehlordnung und verwandte Phänomene), in Kapitel 7.6. (Legierungen und Co – demnächst) und in Kapitel 7.9. (Vielfalt der Kristalle – demnächst).

Was ist eine Tetraederlücke ?

In Bild 3 auf dieser Seite (es ging um den Aufbau der zweiten Kugelschicht) haben Sie gesehen, dass in einer Ebene Kugeln liegen, und dass in die Mulde, die 3 solcher Kugeln bilden, eine vierte gelegt wird. Aus der Mulde ist so ein räumliches Gebiet geworden, dass von 4 Kugeln begrenzt wird. Es ist also eine Lücke.

 

Tetraeder aus 4 Kugeln

Bild 13 : 4 Kugeln bilden einen Tetraeder, in seinem Innern ist die Tetraeder­lücke, gefüllt mit einem roten Atom.

Bild 13 zeigt eine solche Gruppe aus 4 Kugeln. Gemeint sind die 4 großen, blauen Kugeln. Sie sind durchsichtig, damit Sie den Aufbau der Tetraederlücken besser erkennen können. Verbindet man die Mittelpunkte der 4 Kugeln, erhält man einen Tetraeder. Er ist mit eingezeichnet. Einige seiner Kanten scheinen stärker durch, andere schwächer, je nachdem, wie viele Kugeln zwischen ihm und dem Beobachter sind. Konsequenterweise heißt die Lücke im Innern des Tetraeders Tetraederlücke.

Im Innern der Tetraederlücke befindet sich eine kleine, undurchsichtige, rote Kugel. Der Grund ist nicht nur, die Lücke deutlicher sichtbar zu machen, sondern sie gibt auch einen Hinweis auf die Funktion von Lücken in Verbindungen.

Sehen Sie die Tetraederlücken in einer kleinen Jsmol–Visualisierung an.

 

Wie viele Tetraederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Tetraedern (und damit auch Tetraederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Tetraedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

 
eine Kugel und ihre Nachbarn

Bild 14 : Die dunkelblaue Kugel und ihre Nachbarn, von oben gesehen.

Im ersten Schritt, in Bild 14, liegt die gegebene Kugel in der Mitte. Sie ist, wie alle Kugeln dieser und der folgenden Szenen, verkleinert, da Sie nur so alle Kugeln und die Tetraeder gut erkennen können. Die Mittelkugel ist von ihren 6 Nachbarn in der gleichen Schicht umgeben. Diese 6 Nachbarn sind mittelblau und undurchsichtig. In 3 Mulden, die von der Mittelkugel und je 2 Nachbarkugeln gebildet werden, liegt je eine weitere Kugel. Diese 3 Kugeln liegen also in der oberen Schicht. Sie sind ebenfalls mittelblau, aber durchsichtig. Dazu kommen (vergleichen Sie Bild 9) 3 Kugeln, die in der Schicht unterhalb der Mittelkugel liegen, genau unter den 3 mittelblauen, durchsichtigen Kugeln. Sie betrachten die Szene von oben. Sie ist der Szene in Bild 4 ähnlich.

 

eine Kugel und ihre 12 Nachbarn

Bild 15 : Dieselbe Szene wie im vorigen Bild, aber von vorn gesehen und mit 3 Tetraedern erweitert.

Bild 15 zeigt fast dieselbe Szene wie das vorige, aber von vorn gesehen. Sie erkennen wieder die dunkelblaue Mittelkugel, die 6 blauen, undurchsichtigen Nachbarn derselben Schicht und je 3 blaue, durchsichtige Nachbarn in der oberen und der unteren Schicht.

Und die ersten 3 Tetraeder, an denen die Mittelkugel beteiligt ist, sind dazugekommen. Jeder dieser Tetraeder hat die Mittelkugel als Eckpunkt, ist ja klar. Jeder dieser Tetraeder hat außerdem 2 Kugeln der mittleren Schicht als Eckpunkte. Der vierte Eckpunkt schließlich ist die Kugel, die in der Mulde liegt, die die 3 vorigen Kugeln bilden, und die natürlich in der oberen Schicht liegt.

 

eine Kugel, ihre Nachbarn und 6 Tetraeder

Bild 16 : Inzwischen enthält die Szene 6 Tetraeder, an denen die Mittelkugel beteiligt ist.

Die Kugeln der unteren Schicht liegen genau über denen der oberen Schicht. Daraus lassen sich 3 weitere Tetraeder konstruieren, die Sie in Bild 16 sehen. Jeweils 3 Ecken jedes neuen Tetraeders sind identisch mit 3 Ecken der vorhandenen, orangenen Tetraeder. Die vierte Ecke liegt in einer der Kugeln der unteren Schicht, und es ergeben sich die 3 schokoladenbraunen, nach unten weisenden Tetraeder.

 

eine Kugel und ihre 8 Tetraederlücken

Bild 17 : Nun ist es klar. Die Mittelkugel ist an 8 Tetraedern beteiligt.

Zwei hab ich noch. Bei einem der beiden restlichen Tetraeder bildet die Mittelkugel eine Ecke. Die Basis bilden die 3 durchsichtigen Kugeln der oberen Schicht. Der letzte ist spiegelverkehrt dazu. Seine Ecken sind die Mittelkugel und die 3 durchsichtigen Kugeln der unteren Ebene. Diese 2 Tetraeder sind in Bild 17 gelb eingezeichnet.

Die Anfangsfrage ist nun beantwortet. Jede Kugel ist an 8 Tetraedern beteiligt.

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Tetraederlücken es gibt. Das ist aber leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 8 Tetraedern beteiligt ist, kann man 8n Tetraeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Tetraeder 4 mal konstruiert haben, denn er hat ja 4 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Tetraeder muss also durch 4 geteilt werden, und wir erhalten 2n Tetraeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat 2n Tetraederlücken. Es gibt also doppelt so viele Tetraederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer Jsmol–Visualisierung die Konstruktion der Tetraederlücken an. Rufen Sie die Jsmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Tetraeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit kleinen roten Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

Wo liegen die Tetraederlücken ?

Es geht in diesem Abschnitt um die Frage, wie die Tetraederlücken in Bezug auf ein gegebenes Atom angeordnet sind. Naja, sie liegen drumherum. Kann man Genaueres sagen, wie sie um ein Atom herum angeordnet sind ? Ja, natürlich kann man das.

Sehen Sie sich dazu Bild 17 an. Es enthält (neben dem gegebenen Atom und seinen Nachbarn) 8 Tetraeder. In ihrem Innern sind die 8 Tetraederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Tetraederlücken durch kleine, rote Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

3 Tetraederlücken bilden ein Dreieck

Bild 18 : Die Mittelpunkte von 3 Tetraederlücken bilden ein gleichseitiges Dreieck.

Fangen wir in Bild 18 mit den 3 orangen Tetraedern an, die oberhalb des gegebenen (blauen undurchsichtigen) Atoms liegen. Ihre Schwerpunkte bilden ein gleichseitiges Dreieck.

 

6 Tetraederlücken bilden ein Prisma

Bild 19 : Die Mittelpunkte von 6 Tetraederlücken bilden ein flaches Prisma.

Spiegelsymmetrisch zur mittleren Kugelschicht liegen 3 weitere Tetraeder. In den Bildern des vorigen Abschnitts sind sie schokoladenbraun gefärbt. Bild 19 zeigt deren Schwerpunkte. Sie bilden ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck. Es liegt exakt unterhalb des ersten Dreiecks. Verbindet man die beiden Dreiecke, erhält man ein dreiseitiges Prisma. Das Prisma ist recht flach. Die Verbindungslinien zwischen den gleichseitgen Dreiecken sind viel kürzer als die Dreiecksseiten. Ihre Länge beträgt nur rund 40 % der Länge der Dreiecksseiten.

 

8 Tetraederlücken bilden ein überkapptes Prisma

Bild 20 : Die Mittelpunkte aller 8 Tetraeder­lücken rund um die dunkelblaue Kugel bilden ein überkapptes dreiseitges Prisma.

Im letzten Schritt betrachten wir die beiden Tetraeder, die (neben dem gegebenen Atom) je 3 Atome aus der oberen bzw. der unteren Kugelschicht enthalten und die im vorigen Abschnitt gelb gezeichnet waren. Verbindet man den Schwerpunkt eines dieser Tetraeder mit den Ecken des nächstliegenden der eben konstruierten Dreiecke, wie in Bild 20 gezeichnet, so erhält man eine dreiseitige Pyramide – keinen Tetraeder. Die Länge der Seiten von der Basis zur Spitze beträgt nur rund 70 % der Länge der Basisseiten.

 

Fußnote 1 : Ein Polyeder (griechisch Vielflächner) ist ein Körper, der von ebenen Flächen begrenzt ist. Bei regulären Polyedern sind diese Flächen gleich. Die bekanntesten Beispiele für reguläre Polyeder sind Tetraeder, Würfel und Oktaeder, weitere Beispiele sind Dodekaeder und Ikosaeder.

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der hexagonal–dichtesten Kugelpackung wird von 8 Tetraederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines dreiseitigen Prismas mit 2 aufgesetzten dreiseitigen Pyramiden (Man nennt diesen Körper auch ein überkapptes Prisma.). Dies ist kein allzu symmetrischer Körper und schon gar kein regulärer Polyeder (→ Fußnote 1). Trotzdem haben alle Schwerpunkte der Tetraederlücken denselben Abstand von der gegebenen Kugel, nämlich das 1,2247–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie weiter unten nachlesen, in der mathematischen Beschreibung der Kugelpackung, in Abschnitt xxx.

Fußnote 1 : Ein Polyeder (griechisch Vielflächner) ist ein Körper, der von ebenen Flächen begrenzt ist. Bei regulären Polyedern sind diese Flächen gleich. Die bekanntesten Beispiele für reguläre Polyeder sind Tetraeder, Würfel und Oktaeder, weitere Beispiele sind Dodekaeder und Ikosaeder.

Sehen Sie sich in einer Jsmol–Visualisierung das Polyeder an, das die Schwerpunkte der Tetraederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die Jsmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie das Polyeder in mehreren Schritten ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Tetraeder ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

7.3.1.4. Oktaederlücken

Die Besprechung der Oktaederlücken erfolgt in Analogie zu den Tetraederlücken. Sie werden hier wie dort dieselben Argumentationslinien finden. Ich werde aber nicht auf den Abschnitt über die Tetraederlücken verweisen und einfach sagen „Sehen Sie doch dort nach, wie die Zusammenhänge sind”, sondern auch die Oktaederlücken in der gewohnten Detailtreue und Sorgfalt behandeln, und mich damit zwangsweise öfter wiederholen.

Was ist eine Oktaederlücke ?

 

 

Kugel in einer Mulde

Bild 21 : Die Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen. Dort sind Tetraederlücken.

Die Bildung der Oktaederlücken ist etwas schwieriger zu verstehen als die der Tetraederlücken. Wir gehen daher kurz zum Beginn dieser Seite zurück. Dort haben wir eine Schicht Kugeln genauer angesehen. Jeweils 3 Kugeln haben eine Mulde gebildet. Die Hälfte der Mulden hatten wir schwarz markiert, die andere Hälfte weiß. In die Mulden mit der schwarzen Markierung hatten wir die Kugeln der zweiten Schicht gelegt. Dadurch haben sich Lücken gebildet, die von 4 Kugeln umschlossen waren – dies waren die Tetraederlücken. Sie sehen die Situation in Bild 21, das identisch mit Bild 3 ist. Aber was passiert mit den weiß markierten Mulden ?

 

3 Kugeln in gleich markierten Mulden

Bild 22 : 3 Kugeln sind markiert.

Um das herauszufinden, markieren wir in der Kugelschicht 3 benachbarte Kugeln, indem wir sie undurchsichtig blau lassen, während die anderen Kugeln durchsichtig gezeichnet sind. Zwischen den 3 markierten Kugeln ist eine weiße Markierung (Bild 22).

 

eine Schicht Kugeln und 6 weitere Kugeln

Bild 23 : 6 Kugeln sind markiert.

Im nächsten Schritt legen wir auf die Mulden mit der schwarzen Markierung, die der weißen Markierung am nächsten liegen, Kugeln. Es gibt 3 solcher Mulden, also auch 3 neue Kugeln. Natürlich liegen sie in der zweiten Schicht. Die 3 markierten Kugeln der ersten Kugelschicht und die die 3 neuen Kugeln (auch sie sind markiert, d.h. undurchsichtig) liegen rund um die weiße Markierung. Die weiße Markierung ist also von 6 Kugeln umgeben (Bild 23).

 

Oktaeder aus 6 Kugeln Oktaeder aus 6 Kugeln

Bild 24 : Auf dem ersten Bild sehen Sie den Oktaeder von schräg unten, auf dem zweiten so, wie man Oktaeder kennt – als Doppelpyramide.

Um die Umgebung der weißen Markierungen zu verstehen, brauchen wir die durchsichtigen Kugeln nicht mehr. Deshalb sehen Sie in Bild 24 nur noch die 6 markierten Kugeln. Sie sind jetzt durchsichtig gezeichnet, denn dann sehen Sie die Verbindungslinien zwischen den Kugelmittelpunkten. Können Sie auf dem ersten Bild schon erkennen, dass die 6 Kugelmittelpunkte einen Oktaeder bilden ? Nein ? Ehrlich gesagt, ich auch nicht. Drehen wir also das linke Bild ein wenig um die x–Achse, und wir erhalten das rechte Bild. Hier sehen Sie den Oktaeder deutlich.

 

Jede weiße Markierung ist ein Gebiet zwischen Atomen. Sie ist von 6 Atomen oktaederförmig umgeben. Daher nennt man sie eine Oktaederlücke. Sehen Sie sich die Oktaederlücken in einer Jsmol–Visualisierung an. Bauen Sie die Oktaederlücken wie in der Beschreibung dieses Abschnitts schrittweise auf. Betrachten Sie die Szene aus verschiedenen Richtungen.

Wie viele Oktaederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Oktaedern (und damit auch Oktaederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Oktaedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

eine Kugel, ihre Nachbarn und eine Oktaederlücke

Bild 25 : Die gegebene Kugel ist an mindestens einem Oktaeder beteiligt.

Im Detail werden wir nun etwas anders vorgehen als bei den Tetraederlücken. In Bild 25 sehen Sie in der Mitte die gegebene Kugel, dunkelblau und undurchsichtig. Sie ist umgeben von 6 Kugeln der gleichen Schicht, mittelblau und undurchsichtig. Darüber sind Kugeln der nächsten Schicht, durchsichtig gezeichnet. Die Mittelpunkte von 3 Kugeln der oberen Schicht bilden zusammen mit den Mittelpunkten von 3 Kugeln der unteren Schicht einen Oktaeder. Er ist rot eingezeichnet. Wie die Kugeln der oberen Schicht in den Mulden, die von Kugeln der mittleren Schicht gebildet werden, liegen, sehen Sie auf Bild 23 nicht deutlich. Nutzen Sie dafür die Jsmol–Visualisierung am Ende dieses Abschnitts.

 

eine Kugel, ihre Nachbarn und 2 Oktaederlücken

Bild 26 : Die gegebene Kugel ist an mindestens zwei Oktaedern beteiligt.

Im nächsten Schritt erinnern wir uns daran, dass sich in der hexagonal–dichtesten Kugelpackung die Lagen der einzelnen Kugeln alle 2 Schichten wiederholen. Dort, wo in der Schicht über der gegebenen Kugel Kugeln liegen, liegen auch in der Schicht unter der gegebenen Kugel Kugeln.Wir können also in die Schicht unter der gegebenen Kugel 3 Kugeln legen, und zwar genau unter die 3 Kugeln der Schicht über der gegebenen. Diese 3 Kugeln bilden zusammen mit der gegebenen Kugel und den 2 Nachbarn, die wir schon im vorigen Schritt kennengelernt hatten, einen Oktaeder. Die gegebene Kugel ist nun schon an 2 Oktaedern beteiligt. Sie sehen die beiden Oktaeder in Bild 26.

 

eine Kugel und ihre 6 Oktaederlücken

Bild 27 : Die gegebene Kugel ist insgesamt an 6 Oktaedern beteiligt.

Der dritte und letzte Schritt ist einfach. In den vorigen beiden Schritten hatten wir Oktaeder konstruiert, an denen die gegebene Kugel und 2 ihrer Nachbarn in der gleichen Schicht beteiligt waren. Die gegebene Kugel hat in der gleichen Schicht insgesamt 6 Nachbarn, also können wir die Schritte von eben noch zweimal wiederholen, und wir erhalten 4 weitere Oktaeder, an denen die gegebene Kugel betetilgt ist. Bild 27 zeigt alle 6 Oktaeder.

Die Anfangsfrage ist nun beantwortet. Jede Kugel ist an 6 Oktaedern beteiligt.

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Oktaederlücken es gibt. Das ist leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 6 Oktaedern beteiligt ist, kann man 6n Oktaeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Oktaeder 6 mal konstruiert haben, denn er hat ja 6 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Oktaeder muss also durch 6 geteilt werden, und wir erhalten n Oktaeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat n Oktaederlücken. Es gibt also genauso viele Oktaederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer Jsmol–Visualisierung die Konstruktion der Oktaederlücken an. Rufen Sie die Jsmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Oktaeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit grünen Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

Wo liegen die Oktaederlücken ?

Sehen Sie sich zuerst das Bild 27 an. Es enthält (neben mehreren Atomen) 6 Oktaeder. In ihrem Innern sind die 6 Oktaederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Oktaederlücken durch grüne Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

6 Oktaederlücken bilden ein Prisma

Bild 28 : Die Mittelpunkte der 6 Oktaeder­lücken bilden ein dreiseitiges Prisma.

Die Schwerpunkte der oberen 3 Oktaederlücken bilden ein gleichseitiges Dreieck. Die Schwerpunkte der anderen 3 Oktaederlücken liegen 2 Schichten tiefer, auf dem Bild also darunter. Ihre Schwerpunkte bilden ebenso ein gleichseitiges Dreieck. Verbindet man die Dreiecke, ergibt sich ein dreiseitiges Prisma (Bild 28).

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der hexagonal–dichtesten Kugelpackung wird von 6 Oktaederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines dreiseitigen Prismas. Alle Schwerpunkte der Oktaederlücken haben denselben Abstand von der gegebenen Kugel, nämlich das 1,4142–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie im nächsten Abschnitt nachlesen. Die Oktaederlücken sind also viel größer als die Tetraederlücken.

Sehen Sie sich in einer Jsmol–Visualisierung das Prisma an, das die Schwerpunkte der Oktaederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die Jsmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie das Prisma ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Oktaeder ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Insbesondere die Ausgangsstellung und „Richtung 4” zeigen das Prisma deutlich.

7.3.1.5. Vertreter

In der hexagonal–dichtesten Kugelpackung kristallisieren nur Metalle. Bei Normalbedingungen (T = 25°C, p = 1 bar) gehören dazu die unten Aufgezählten.

Ich habe die Liste aus dem englische Flagge PSE von Mark Winter (Lit. L–41) zusammengestellt. Dort finden Sie auch zu jedem Element Nachweise von Originalliteratur zur Kristallstruktur.

7.3.1.6. Elementarzelle und Atompositionen

Die Bilder in den vorigen Abschnitten haben Ihnen einen anschaulichen Eindruck von der hexagonal–dichtesten Kugelpackung gegeben, und vielleicht können Sie sich nun diese Packung ganz leicht vor Ihrem geistigen Auge vorstellen, ihren Aufbau aus Kugeln, und den Tetraederlücken und Oktaederlücken dazwischen.

In den folgenden Unterabschnitten wird es um eine möglichst exakte Beschreibung der hexagonal–dichtesten Kugelpackung gehen, entsprechend Kapitel 7.1.3. bis Kapitel 7.1.6. Diese Beschreibung erfolgt zwar mathematisch, aber immer graphisch unterstützt.

Als erstes werde ich die Elementarzelle vorstellen und die Atompositionen benennen (mehr zu diesen Begriffen in Kapitel 7.1.3.

Wie sieht die Elementarzelle aus ?

 

 

Kugelschicht mit Sechseck

Bild 29 : Hat die Elementarzelle eine solche sechseckige Grundfläche ?

Die Sechseck–Idee. – Sehen Sie sich Bild 29 an. Um ein Atom in einer Schicht gruppieren sich 6 weitere Atome. Verbindet man ihre Mittelpunkte, erhält man ein Sechseck. Mit solchen Sechsecken kann man eine Fläche lückenlos ausfüllen, und durch endlose Aneinanderreihung von Säulen mit einer solchen sechseckigen Grundfläche (sie sehen dann aus wie Bienenwaben) kann man die hexagonal–dichteste Kugelpackung beschreiben. Und überhaupt, warum heißt die Packung denn hexagonal ? Ein Hexagon ist ein Sechseck, und bestimmt haben wir eben die Elementarzelle gefunden.

Ja, diese Gedanken sind verführerisch. Und ja, man kann mit solchen bienenwabenförmigen Gebilden die hexagonal–dichteste Kugelpackung beschreiben.

Nur, es ist keine Elementarzelle. Im Exkurs in Kapitel 7.1.3.2. habe ich erläutert, dass die Elementarzelle möglichst klein sein muss. Und diese Zelle ist zu groß.

 

Kugelschicht mit Raute

Bild 30 : Eine Schicht Kugeln und eine Raute. Die Raute ist die Grundfläche der Elementarzelle.

Die Grundfläche der Elementarzelle. – Bild 30 zeigt, wie die Grundfläche der Elementarzelle wirklich aussieht. Es ist eine Raute (Rhombus). Sie ist nur ein Drittel so groß wie das Sechseck in Bild 29, und sie sehen sofort, dass man durch endlose Aneinanderreihung solcher Rauten die Kugelschicht konstruieren kann. Die Winkel in der Raute betragen 60° und 120°.

 

4 Kugelschichten

Bild 31 : Nach 2 Kugelschichten wiederholt sich der Aufbau der Kugelpackung.

Die Höhe der Elementarzelle. – Im Abschnitt über den Aufbau der hexagonal–dichtesten Kugelpackung (Kapitel 7.3.1.1.) haben Sie gesehen, dass sich der Aufbau der Packung nach 2 Kugelschichten wiederholt. Bild 31 zeigt die Situation noch einmal.

Die Elementarzelle hat also eine rautenförmige Grundfläche und eine Höhe von 2 Atomschichten. Ihre Form ist ein Prisma. In Bild 32 können Sie sehen, einmal von der Seite, dann von oben.

 

Elementarzelle der hexagonal dichtesten Kugelpackung Elementarzelle der hexagonal dichtesten Kugelpackung

Bild 32 : Elementarzelle der hexagonal dichtesten Kugelpackung, erst von vorn, dann von oben.
Jsmol–Visualisierung dazu.

Wieviele Atome enthält die Elementarzelle ?

In Bild 32 sehen Sie, dass an jeder der 8 Ecken des Prismas ein Atom sitzt. Daraus ergibt sich, dass die Elementarzelle erst mal ein Atom enthält. Eine Begründung für diese Folgerung finden Sie in Kapitel 7.1.3.4.

Ein weiteres Atom hat seinen Platz im Innern des Prismas.

Insgesamt enthält die Elementarzelle der hexagonal–dichtesten Kugelpackung also 2 Atome.

 

Atompositionen – anschaulich

Die Rolle der Kristallkoordinaten. – Wenn man Kristallkoordinaten benutzt, wie ich sie in Kapitel 7.1.3.3. beschrieben habe, ist es leicht, die Positionen der Atome anzugeben. Falls Ihnen dieses Hilfsmittel vertraut ist, können Sie 2 Absätze überspringen und dann weiterlesen. Andernfalls sehen Sie sich Bild 33 an. Es ist Bild 32 ähnlich, jedoch habe ich dort die Koordinatenachsen eingezeichnet und die Koordinaten einiger Atome angegeben.

Die Einheiten auf der a–Achse und der b–Achse sind gleich groß. Sie sehen das gut im rechten Teil des Bildes, der eine Ansicht von schräg oben zeigt. Diese gleiche Größe erstaunt niemanden, denn die Einheiten haben ja gerade die Länge der Kanten a und b der Elementarzelle, und weil die Grundfläche der Elementarzelle eine Raute, also ein Viereck mit 4 gleich langen Seiten, ist, müssen die beiden gleich lang sein.

Die Einheit auf der c–Achse hat die Länge der Kante c der Elementarzelle. Sie ist deutlich größer als die Einheiten auf der a– und der b–Achse, denn ihre Länge beträgt ja 2 Kugelschichten, und nicht nur den Abstand zweier Nachbaratome. Das genaue Zahlenverhältnis kann man berechnen – mehr dazu weiter unten.

Das erste Atom. – Die Position eines Atoms der Elementarzelle ist nun klar. Es hat die Koordinaten (0/0/0).

Die anderen 7 Atome an den Ecken der gezeichneten Zelle gehören formal zu anderen, benachbarten Elementarzelle (mehr dazu in Kapitel 7.1.3.4.). Ihre Koordinaten sind (0/0/1), (0/1/0), (0/1/1), (1/0/0), (1/0/1), (1/1/0) und (1/1/1).

Das zweite Atom. – Doch welche Position nimmt das zweite Atom der Elementarzelle ein ? Es liegt genau auf halber Höhe der Zelle, denn es gehört zu einer Kugelschicht, die genau in der Mitte zwischen den Schichten liegt, die die Elementarzelle oben und unten begrenzen. Seine c–Koordinate ist also 0,5.

Um die a– und b–Koordinaten herauszufinden, gibt es 2 Wege. Beim ersten betrachten Sie noch einmal Bild 30. Das Atom liegt in einer der beiden Mulden, die sich in der markierten Raute befinden. Zum Beispiel kann es in der weißen Mulde sein. Sicher liegt sie auf der langen Diagonalen der Raute. Damit sind a– und b–Koordinate gleich (Geht man auf der a–Achse ein Stück und dann parallel zur b–Achse genauso weit, kommt man auf der Diagonalen an, man hat dann eine verkleinerte Version der Raute bekommen.). Doch wie groß sind die Koordinaten ? Es sieht so aus, als würden die beiden Mulden die Diagonale in 3 gleiche Teile teilen. Aber stimmt das ?

Elementarzelle von oben

Bild 34 : Die Elementarzelle hat ein Raster mit Dritteln bekommen. Sie sehen sie von oben und können die Position des Atoms im Innern gut erkennen.
Jsmol–Visualisierung dazu.

Beim zweiten Weg betrachten Sie die Elementarzelle exakt von oben (Bild 34). In die Zelle habe ich Hilfslinien eingezeichnet, die parallel zu den Achsen a und b verlaufen, und die die Zelle jeweils in 3 gleiche Teile teilen. Das Atom liegt genau auf einem der Kreuzungspunkte.

Die Position des zweiten Atoms der Elementarzelle ist nun klar (→ Fußnote 2). Es hat die Koordinaten ( 1/3 / 2/3 / 0,5 ).

Fußnote 2 : Wenn man genau ist, ist die Atomposition überhaupt nicht klar. Wir haben sie durch genaues Hinsehen gewonnen. Diese Methode ist zwar wissenschaftlich (das heißt, viele Wissenschaften gewinnen viele Erkenntnisse durch genaues Hinschauen), aber sie ist nicht exakt. Es wäre förderlich, wenn man die Position beweisen oder messen könnte. Beides geht. Der mathematische Beweis benutzt Methoden der Geometrie und ist lang und umständlich. Er würde auch das Buch unnötig lang machen und entfällt daher. Eine Messung würde durch Röntgenstrukturanalyse erfolgen. Ihr Ergebnis ist lange bekannt. Es bestätigt unsere Vermutung.

Das Verhältnis von Höhe zu Breite. – Einiges habe ich zur Größe der Grundfläche der Elementarzelle und zu ihrer Höhe gesagt. Jedoch haben Sie noch nichts zum Verhältnis der Längen der Achsen a und c erfahren.

In einer dichtesten Kugelpackung liegen die Kugeln, ganz klar, dicht an dicht, das heißt, sie berühren sich so oft wie möglich. Daher können wir einfache geometrische Argumente benutzen, um das Verhältnis der Achsenlängen zu berechnen.

Aus Bild 30 sehen Sie, dass die Länge a der a–Achse (und damit auch b) gleich dem doppelten Radius r der Kugeln ist.

a = 2 r

Die Länge c der c–Achse (und damit die Höhe der Elementarzelle) beträgt 2 Kugelschichten (Sie sehen es in Bild 31.). Genau : c ist gleich dem Abstand einer Ebene E1 , die durch die Kugelmittelpunkte der unteren Kugelschicht geht, zu einer Ebene E3 , die durch die Kugelmittelpunkte der oberen Kugelschicht geht (in Bild 31). Und dieser Abstand ist doppelt so groß wie der Abstand h der Ebene E1 zu einer Ebene E2 , die durch die Kugelmittelpunkte der mittleren Kugelschicht geht.

h kann man leicht berechnen. Sehen Sie sich dazu Bild 13 an. Die unteren 3 Kugeln liegen in der Ebene E1. Die obere Kugel liegt in der Mulde, die die unteren 3 bilden. Sie liegt also in der Ebene E2. Die 4 Kugeln bilden einen Tetraeder. Der Abstand des Mittelpunktes der oberen Kugel zu der Ebene durch die Mittelpunkte der 3 unteren Kugeln ist gerade die Höhe des Tetraeders. Seine Höhe findet man in einer Formelsammlung. Es gilt

h = sqrt(2/3) a ___.

Dabei ist a die Seitenlänge des Tetraeders und damit auch die Länge der a–Achse.

Da h die halbe Höhe der Elementarzelle ist, bekommt man für die Länge c der c–Achse (und damit auch für die Höhe der Elementarzelle)

c = 2 ⋅ sqrt(2/3) a ≈ 1,633 a ___.

Das ideale Verhältnis und die Realität. – Zu Beginn dieser Seite habe ich geschrieben, dass wir ein einfaches Modell aus festen, starren und gleichgroßen Kugeln (die man sich als Tischtennisbälle oder Kugellagerkugeln vorstellen kann) benutzen, um den Aufbau eines Metallkristalls zu beschreiben.

Im weiteren Verlauf haben Sie viele Details zu diesem Modell erfahren, und wir sind immer, ohne viele Worte darum zu machen, davon ausgegangen, dass dieses Modell Metallkristalle exakt und perfekt beschreibt.

Doch ist das wirklich so ? Beschreibt das Modell wirklich den Aufbau von Metallkristallen ?

Fußnote 3 : Genau genommen gibt es noch viel mehr Einschränkungen. Zum Beispiel führen Atome thermische Schwingungen aus, und jeder Kristall hat Baufehler. Mehr zu thermischen Schwingungen erfahren Sie in Kapitel 3.7.5. und in Kapitel 4.1.2.3. (innere Energie). Mehr zu Baufehlern erfahren Sie in Kapitel xxx – demnächst.

Ja, mit einer Ausnahme (→ Fußnote 3).

Ja heißt, die Elementarzelle der Kristalle vieler Metalle (zum Beispiel der in Kapitel 7.3.1.5. (Vertreter) genannten) ist so aufgebaut wie bis jetzt beschrieben : Sie hat eine rautenförmige Grundfläche, sie hat eine Prismenform, die Winkel zwischen den Achsen sind 60°, 90° und 90°.

Die Ausnahme ist das Verhältnis zwischen den Längen der Achsen c und a. Es ist höchstens zufällig 1,633. Meist hat es andere Werte. Eine, weder systematische noch repräsentative, Auswahl finden Sie in Tabelle 1.

Tabelle 1 : Einige Metalle
Stoff Länge der Achse c (in pm) Länge der Achse a (in pm) Verhältnis c/a Abweichung vom Idealwert (in Prozent)
Idealkristall <1,633> <1,000> 1,633 0
Beryllium 356,4 228,6 1,5678 –4,00
Yttrium 573,1 364,7 1,5714 –3,77
Osmium 431,7 273,4 1,5790 –3,31
Titan 468,6 295,1 1,5879 –2,76
Thallium 552,5 345,7 1,5982 –2,14
Kobalt 407,0 250,7 1,6235 –0,61
Magnesium 521,0 320,9 1,6236 –0,57
Zink 494,7 266,5 1,8563 13,67
Cadmium 561,9 297,9 1,8862 15,51

Tabelle 1 : Einige Metalle, die in der hexagonal–dichtesten Kugelpackung kristallisieren. Alle Daten sind aus Lit. L–41.

Schicht Cadmiumatome, von oben 4 Schichten Cadmiumatome, von der Seite

Bild 35 : Kristallstruktur von Cadmium. Cadmium–Atome sind violett farbcodiert.
Oben : Atome einer Schicht berühren sich.
Unten : Die Schichten sind voneinander getrennt. Man könnte ein Blatt Papier dazwischen schieben.

c/a > 1,633. – Bei einigen Metallen ist das Verhältnis der beiden Achsen größer als der Idealwert 1,633. Das heißt, die Kugelschichten selbst sind ideal aufgebaut, die Kugeln berühren sich, wie zum Beispiel in Bild 1. Jedoch liegen die Schichten nicht direkt aufeinander wie zum Beispiel in Bild 9, sondern zwischen ihnen ist ein gewisser Abstand.

Bild 35 zeigt den Aufbau eines Cadmium–Kristalls, einmal von oben, dann von vorn. Cadmium hat die größte Abweichung von der idealen Packung. Sie sehen im oberen Teil von Bild 35 eine Schicht von Cadmium–Atomen, in der sich die Atome berühren. Unten sind mehrere Schichten von Cadmium–Atomen übereinander. Die Atome der einen Schicht liegen nicht mehr in den Mulden der nächsten Schicht. Statt dessen sind die Schichten voneinander getrennt, so als ob man zwischen sie ein Blatt Papier gelegt hätte.

 

c/a < 1,633. – Ob die Schichten nun wohl zusammengequetscht sind, und aus den Kugeln eher Plattpfirsiche geworden ? Sicher nicht. Die Schichten liegen direkt aufeinander, aber innerhalb der Schichten berühren sich die Kugeln nicht, sondern haben einen gewissen Abstand.

Die Begründung habe ich gleich am Anfang von Kapitel 7.3. schon genannt. Die Modellvoraussetzung „keine anderen Kräfte außer (ungerichteten) Dispersionskräften” ist nicht erfüllt. Es wirken noch andere, gerichtete Kräfte. Welche das sind, ist jenseits des Anspruchs dieses Buches.

Neue Nachbarschaft. – Es hat Konsequenzen, wenn die Elementarzelle in Richtung der c–Achse gestreckt ist (das ist der Fall, wenn c/a > 1,633) oder wenn sie in dieser Richtung gestaucht ist (im anderen Fall.) Dazu gehört, dass sich die Zahl der Nachbarn ändert.

In Kapitel 7.3.1.2. haben Sie erfahren, dass jede Kugel der idealen hexagonal–dichtesten Kugelpackung 12 Nachbarn hat. Das heißt, es gibt 12 Kugeln, die eine gegebene Kugel berühren und von ihr den gleichen Abstand (doppelter Kugelradius) haben.

Betrachten Sie nun die Bilder 1 und 9, am besten gleichzeitig.

Im ersten Fall (c/a > 1,633) berühren die 6 Kugeln der gleichen Kugelschicht die gegebene Kugel, die 6 Kugeln aus der darüber und der darunter liegenden Schicht sind etwas weiter entfernt. Wenn man ganz genau ist, sagt man, jede Kugel hat 6 nächste Nachbarn und 6 etwas weiter entfernte Nachbarn, und man benutzt eine Schreibweise wie 6+6. Ist man nicht so genau, spricht man weiter von 12 Nachbarn, besonders wenn die Abweichung von c/a vom Idealverhältnis nur gering ist.

Im zweiten Fall (c/a < 1,633) berühren die 6 Kugeln aus der darüber und der darunter liegenden Schicht die gegeben Kugel, die 6 Kugeln der gleichen Schicht sind etwas weiter entfernt. Wieder kann man die Zahl der Nachbarkugeln mit 6+6 bezeichnen, oder mit 12. Es sind nur andere Kugeln als vorhin.

Der gleiche Strukturtyp. – Auch wenn das c/a–Verhältnis stark vom Idealwert abweicht, sind noch alle Symmetrieelemente vorhanden. Man zählt daher auch Stoffe mit solchen Elementarzellen zum Strukturtyp der hexagonal–dichtesten Kugelpackung.

Elementarzelle und Atompositionen – formal

Zum Schluss gebe ich (in Tabelle 2) die Beschreibung der Elementarzelle und der Atomposition an, so wie es in Kapitel 7.1.3.5. beschrieben ist.

Die Atompositionen weichen von den bisher genannten ab. Die Positionen in der Tabelle lassen Symmetrien deutlicher erkennen und werden daher in der Literatur oft benutzt, jedoch haben sie den Nachteil geringerer Anschaulichkeit. Im Ursprung ist kein Atom.

Tabelle 2 : Beschreibung der Elementarzelle von Magnesium als praktisch idealem Vertreter der hexagonal–dichtesten Kugelpackung

 

Wie groß sind die Tetraederlücken ?

Es geht hier nicht darum, das Volumen des Raumes zwischen den 4 Kugeln, die die Lücke umgeben, mit allen seinen Ausbuchtungen und Verzweigungen zu berechnen. Vielmehr will man wissen, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Tetraederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der hexagonal–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Tetraederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

 

Tetraeder, durch eine Ebene halbiert

Bild 17 : Ein Tetraeder, durch eine Ebene halbiert.

Zur Untersuchung der Größe der Tetraederlücken halbieren wir einen Tetraeder. Wir tun dies, indem wir eine Ebene so durch den Tetraeder legen, dass sie durch 2 Eckpunkte geht und 2 Seiten halbiert. Bild 17 zeigt die Situation.

Die Ebene geht durch die beiden undurchsichtigen, blauen Kugeln hinten und oben (es sind Ecken des Tetraeders) und durch die kleine rote Kugel in der Mitte des Tetraeders (sie füllt die Tetraederlücke aus). Mit den beiden anderen Ecken des Tetraeders, den durchsichtigen, blauen Kugeln vorn rechts und vorn links, hat die Ebene genau einen gemeinsamen Punkt. Sie ist Tangente an diese Kugeln.

Sehen Sie den durch eine Ebene halbierten Tetraeder in einer kleinen Jsmol–Visualisierung an.

 

Schnittebene durch einen Tetraeder

Bild 18 : Schnittebene durch einen Tetraeder. Die Ebene geht durch 2 Ecken und den Schwerpunkt. Sie halbiert den Tetraeder.

Im nächsten Schritt sehen wir uns die Schnittebene an. Sie können sie in Bild 18 sehen. Die 2 blauen Kreise sind Schnitte durch die Kugeln der Kugelpackung. Der rote Kreis ist ein Schnitt durch eine Kugel, die die Tetraederlücke gerade ausfüllt. Wir führen einige Bezeichnungen ein und können schnell Aussagen über Stücke der Zeichnung machen.

  • rK : Radius der blauen Kugeln
  • rL : Radius der roten Kugel
  • AB : Die Strecke AB hat die Länge 2rK. Sie ist eine Kante des Tetraeders. Nenne die Länge dieser Strecke dAB. Es ist also dAB = 2rK.
  • AC und BC : Die Strecken AC und BC sind Seitenhalbierende der Tetraederflächen (denn wir haben die Schnittebene ja so gelegt, dass sie den Tetraeder halbiert). Ihre Länge brauchen wir nicht. Wichtig ist nur, dass jede Höhe des Tetraeders (er hat 4) ihren Fußpunkt auf der Seitenhalbierenden der gegenüberliegenden Fläche hat, und …
  • BH ist eine Höhe des Tetraeders. Ihre Länge sei dh. Eine Formelsammlung sagt uns, dass gilt : dh = sqrt(2/3) ∗ dAB. Es folgt dh = sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ rK.

 

Nun sollten wir uns Gedanken über den Mittelpunkt M der roten Kugel machen. 2 Fragen stellen sich :

Hier sind die Antworten.

Die Berechnung von rL ist nun einfach. Wir nutzen aus, dass der Schwerpunkt M des Tetraeders die Höhe im Verhältnis 3:1 teilt. Für die Länge dBM der Strecke BM gilt also dBM = 3/4 ∗ dh. Es folgt dBM = 3/4 ∗ sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ rK = 1,2247 ∗ rK. Andererseits gilt dBM = rK + rL. Aus den beiden vorigen Gleichungen erhält man 1,2247 ∗ rK = rK + rL und daraus rL = 0,2247 ∗ rK.

Damit ist die Frage nach der Größe der Tetraederlücke beantwortet. Besteht die hexagonal–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die tetraedrischen Lücken einen Radius von rL = 0,2247 ∗ r.

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Wie groß sind die Oktaederlücken ?

Wieder steht die Frage im Mittelpunkt, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Oktaederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der hexagonal–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Oktaederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

 

Oktaeder, durch eine Ebene halbiert

Bild 27 : Ein Oktaeder, durch eine Ebene halbiert.

Zur Untersuchung der Größe der Oktaederlücken halbieren wir einen Oktaeder. Es gibt nur eine Möglichkeit, einen Oktaeder symmetrisch zu halbieren. Wir legen dazu eine Ebene durch 4 Eckpunkte. Bild 27 zeigt die Situation.

Die Schnittebene halbiert 4 Kugeln. Es sind die Ecken des Oktaeders, und ihre Mittelpunkte bilden ein Quadrat. Zusätzlich ist in Bild 27 die Kugel, die die Oktaederlücke ausfüllt, grün eingezeichnet.

Sehen Sie den durch eine Ebene halbierten Oktaeder in einer kleinen Jsmol–Visualisierung an.

 

Schnittebene durch einen Oktaeder

Bild 28 : Schnittebene durch einen Oktaeder. Die Ebene geht durch 4 Ecken und den Schwerpunkt. Sie halbiert den Oktaeder.

Im nächsten Schritt sehen wir uns die Schnittebene an. Sie können sie in Bild 28 sehen. Die 4 blauen Kreise sind Schnitte durch die Kugeln der Kugelpackung. Der grüne Kreis ist ein Schnitt durch eine Kugel, die die Oktaederlücke gerade ausfüllt. Wir führen einige Bezeichnungen ein und können schnell Aussagen über Stücke der Zeichnung machen.

  • rK : Radius der blauen Kugeln
  • rL : Radius der grünen Kugel
  • AB : Die Strecke AB hat die Länge 2rK. Sie ist eine Kante des Oktaeders. Nenne die Länge dieser Strecke dAB. Es ist also dAB = 2rK.
  • BC, CD und AD : Da der Schnitt durch den Oktaeder ein Quadrat ist, haben diese Seite dieselbe Länge 2rK.
  • AM, BM, CM und DM : Alle diese Strecken vom Mittelpunkt M des Quadrats (und damit auch vom Mittelpunkt M des Oktaeders) zu seinen Ecken haben dieselbe Länge. Nenne sie dAM. Es ist dAM = rK + rL.

 

Die Berechnung von rL ist nun einfach. Betrachte dazu das Dreieck ABM. Nach dem Satz von Pythagoras gilt dAM2 + dAM2 = dAB2.
Es folgt (rK + rL)2 + (rK + rL)2 = (2rK)2.
Daraus folgt 2 rK2 + 4 rkrL + 2 rL2 = 4 rK2.
Weiter folgt 2 rL2 + 4 rkrL – 2 rK2 = 0
und rL2 + 2 rkrL – rK2 = 0.
Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt
rL = – rk ± sqrt(2 rK2).
Eine der beiden Lösungen ist negativ. Sie wird verworfen. Die andere lautet
rL = – rk + sqrt(2) ∗ rK = rK ∗ (sqrt(2)–1) = 0,4142 ∗ rK.

Damit ist die Frage nach der Größe der Oktaederlücke beantwortet. Besteht die hexagonal–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die oktaedrischen Lücken einen Radius von rL = 0,4142 ∗ r. Sie sind also wesentlich größer als die tetraedrischen Lücken.

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