Beschreibung von Kristallstrukturen

Worum geht es ?

Elementarzelle von Rutil mit Schnittebenen

Bild 1 : Solche Schnitte durch eine Elementarzelle helfen, sie besser zu verstehen.

Auf vielen Seiten im Internet, auch auf meiner Seite, werden Kristallstrukturen vorgestellt und beschrieben.

Aber wie beschreibt man eine Kristallstruktur am besten ? Soll man sie exakt und formal, aber eher unanschaulich beschreiben ? Oder soll man über ihre Eigenschaften sprechen und alles an schönen anschaulichen Bildern illustrieren, dabei aber auf vollständige Exaktheit verzichten ? Oder soll man das beste aus beiden Welten vereinen, oder etwas ganz anderes machen ? Niemand kann hier eine endgültige Entscheidung fällen, denn es kommt auf die Interessen der Leserinnen und Leser an, und auf deren Vorkenntnisse. Sicher werden die Menschen unterschiedliche Wege gehen, um es für sich am besten zu verstehen.

Ich habe deshalb eine Handvoll Möglichkeiten ausgewählt, wie man Kristallstrukturen beschreiben kann, und ich will jede an 2 Beispielen erläutern. Das erste Beispiel ist der Natriumchloridtyp, eine der übersichtlichsten und am einfachsten zu verstehenden Strukturen. Das andere Beispiel ist der Rutiltyp, der schon eine gewisse Komplexität besitzt.

Auf dieser Seite erfahren Sie mehr über die Beschreibung von Kristallstrukturen durch

Elementarzelle und Atompositionen

Eine gängige Methode, Kristallstrukturen zu beschreiben, ist, die Abmessungen der Elementarzelle und die Positionen aller Atome oder Ionen in einer Elementarzelle anzugeben.

Elementarzelle

Plan einer Elementarzelle

Bild 2 : Zweidimensionales Modell einer Kristallstruktur mit Elementarzelle.

Was ist eine Elementarzelle ? – Eine Elementarzelle ist die kleinste räumliche Einheit, aus der man durch vielfache Wiederholung in alle 3 Richtungen des Raumes den gesamten Kristall aufbauen kann. Bei einfachen anorganischen Stoffen umfasst sie oft nur eine Handvoll Atome oder Ionen, kann aber bei komplexen Verbindungen über 100 Atome enthalten. Ist der Stoff aus Molekülen aufgebaut, enthält die Elementarzelle in der Regel nur wenige Moleküle.

Bild 2 zeigt ein zweidimensionalen Modell (weil es übersichtlicher ist) einer Kristallstruktur mit einer „Elementarzelle” A.

Eigenschaften von Elementarzellen (Exkurs) – Wie findet man die Elementarzelle einer Kristallstruktur ? Wie unterscheidet man eine echte Elementarzelle von ähnlich aussehenden räumlichen Einheiten, die aber keine Elementarzellen sind ? Ist eine Elementarzelle eindeutig zu bestimmen ? Das sind interessante Fragen, die aber bei der Beschreibung von Kristallstrukturen nicht jeder und jede selbst beantworten muss. Wir können uns darauf verlassen, dass andere diese Arbeit gemacht haben. Deshalb habe ich die Antwort auf die Fragen von oben in einen Exkurs verlagert.

Plan einer Elementarzelle

Bild 3 : Form einer Elementarzelle. Mehr Info im Text.

Form von Elementarzellen – Elementarzellen real existierender Kristalle sind immer nach demselben Schema aufgebaut. Es sind geometrische Körper, die von 6 Flächen begrenzt werden. Alle 6 Flächen sind Parallelogramme. Jeweils 2 davon (vorn – hinten, rechts – links, oben – unten) sind parallel, außerdem haben sie dieselben Kantenlängen und Winkel, das heißt, sie sind kongruent. Man kann es auch anders formulieren : Die Elementarzelle besteht aus 3 Paaren kongruenter, paralleler Parallelogramme. Einen solchen Körper nennt man Parallelepiped.

Die Parallelogramme müssen keine Rauten (Rhomben) sein. Sie können unterschiedliche, aber natürlich auch gleiche Seitenlängen haben. Die Winkel zwischen den Seiten der Parallelogramme können 90° betragen, sie können aber auch andere Werte annehmen.

Bild 3 illustriert eine solche allgemeine Elementarzelle. Sie besitzt Seiten mit den Längen a, b und c. Jede der 3 Seitenlängen kommt 4 mal vor. Die Winkel zwischen den Seiten bezeichnet man mit α (Winkel zwischen b und c), β (zwischen a und c) und γ.

Beispiel Natriumchlorid

Elementarzelle von Natriumchlorid (NaCl)
a = 564,0 pm
b = 564,0 pm
c = 564,0 pm
α = 90°
β = 90°
γ = 90°

Beim Natriumchlorid (NaCl) haben alle Kanten die gleiche Länge, und alle Winkel haben dieselbe Größe von 90°. Die Elementarzelle ist also ein Würfel. Man nennt sie deshalb auch kubisch.

Im Natriumchlorid–Strukturtyp kristallisieren viele Stoffe. Alle haben mit dem Natriumchlorid gemein, dass ihre Elementarzelle ein Würfel ist. Der Unterschied liegt in der Größe des Würfels. So kristallisiert zum Beispiel auch Kaliumbromid (KBr) im Natriumchlorid–Strukturtyp. Weil aber die Kalium–Ionen größer sind als die Natrium–Ionen und ebenso die Brom–Ionen größer als die Chlor–Ionen, ist auch die Elementarzelle von Kaliumbromid größer als die von Natriumchlorid. Ihre Kantenlänge beträgt a = 660,0 pm.

 

Beispiel Rutil

Elementarzelle von Rutil (TiO2)
a = 459,4 pm
b = 459,4 pm
c = 295,9 pm
α = 90°
β = 90°
γ = 90°

Beim Rutil (TiO2) haben 2 Kanten die gleiche Länge, die dritte ist kürzer. 2 Begrenzungsflächen der Elementarzelle sind also Quadrate, die anderen 4 sind Rechtecke. Weil auch alle Winkel dieselbe Größe von 90° haben, ist die Elementarzelle ein Quader mit quadratischen Seitenflächen. Man nennt ihre Form tetragonal.

Auch im Rutil–Strukturtyp kristallisieren viele Stoffe. Wieder haben alle gemeinsam, dass ihre Elementarzelle tetragonal ist. Natürlich unterscheiden sich die Elementarzellen der einzelnen Stoffe des Rutil–Typs in ihrer Größe, entsprechend der Größe der beteiligten Ionen. Hier und bei vielen anderen Typen von Elementarzellen kommt aber noch etwas hinzu.

Bezogen auf die Abmessungen der Elementarzelle ist es so, dass bei den Stoffen, die den gleichen Strukturtyp haben, die Winkel gleich sein müssen, ebenso die Verhältnisse der Kantenlängen. Dabei sind kleine Abweichungen erlaubt. Beim Rutil selbst ist die Länge der Kanten a und b etwa anderthalb mal groß wie die Länge der Kante c. Das genaue Längenverhältnis ist c/a = 1,55. Wenn bei anderen Stoffen dieses Verhältnis nur wenig abweicht (vielleicht zwischen 1,50 und 1,60 liegt, oder so) und auch die Atome oder Ionen an den gleichen Plätzen sind, wird man sie auch zum Rutil–Typ zählen.

Wichtiger als Zahlenwerte ist aber die Symmetrie. Um zum Rutil–Typ zu gehören, müssen alle Winkel exakt 90° betragen, und die Seiten a und b müssen exakt die gleiche Länge haben. Hat zum Beispiel ein Winkel einen Wert von nur 89°, ist die Elementarzelle kein symmetrischer Quader mehr, sondern ein, wenn auch nur wenig, schiefer Körper, dem Symmetrien fehlen (einige Drehachsen). Unterscheiden sich die Längen a und b um mehr als die Messgenauigkeit, ist die Elementarzelle nicht mehr tetragonal. Wieder sind Symmetrien verloren gegangen, und man kann solche Stoffe nicht mehr zum Rutil–Typ zählen.

Kristallkoordinaten

In der Schule haben wir ein Koordinatensystem kennen gelernt, bei dem die 2 oder 3 Achsen senkrecht aufeinander stehen, und bei dem auf jeder Achse die Maßeinheiten gleich lang sind. Dieses Koordinatensystem heißt nach seinem Erfinder, dem französischen Denker René Descartes, kartesisches System. Für die Arbeit mit Elementarzellen taugt es nicht viel.

Elementarzelle mit Koordinaten eines Punkts

Bild 4 : Elementarzelle mit den Achsen a, b und c, und mit einem Punkt mit den Koordinaten (0,5/0,8/0,623).

Hier benutzt man ein Koordinatensystem, bei dem die 3 Achsen die Winkel α, β und γ aus Bild 3 einschließen. Die Achsen heißen auch nicht mehr x–, y– und z–Achse, sondern a–, b– und c–Achse. In Zeichnungen weist die a–Achse oft nach rechts, die b–Achse nach hinten und die c–Achse nach oben.

Die Längeneinheit ist auch nicht mehr auf allen 3 Achsen gleich. Statt dessen ist die Länge der Einheit (also die „1”) auf der a–Achse genau die Länge der Kante a der Elementarzelle. Und genauso haben die Kanten b und c im neuen Koordinatensystem gerade die Länge 1.

Dieser Trick erleichtert die Arbeit mit Elementarzellen ganz entscheidend. Liegt ein Atom zum Beispiel auf der Mitte der a–Achse, hat es die a–Koordinate 0,5, ganz egal, wie lang diese Achse ist.

Bild 4 illustriert die Situation. Dort ist der Punkt P(0,5/0,8/0,62) eingezeichnet. Es ist nun egal, welche Längen die Kanten und welche Werte die Winkel der Elementarzelle haben. Man findet P immer auf die gleiche Art, nämlich indem man vom Ursprung die halbe Kante a entlanggeht (rot farbcodiert), dann parallel zur Kante b eine Strecke von 0,8 mal der Länge von b (grün) und schließlich parallel zur Kante c eine Strecke von 0,62 mal der Länge von c (blau).

Kristallkoordinaten sind ein gut brauchbares Mittel, die Lage von Punkten, damit von Atomen, in Elementarzellen zu beschreiben.

Atompositionen

Jetzt ist es ganz einfach, die Struktur eines Kristalls zu beschreiben. Nachdem wir die Abmessungen der Elementarzelle mitgeteilt haben, brauchen wir nur noch die Positionen aller Atome und Ionen in Kristallkoordinaten anzugeben.

Methode für Laien – Hier machen wir wirklich das, was wir gesagt haben. Wir geben für die 2 Beispiele die Positionen aller Ionen an.

Natriumchlorid NaCl

Rutil TiO2

 

Profimethode – Chemikerinnen und Chemiker (und darin sind sie sich mit vielen anderen Studierten einig) schreiben nur das hin, was wirklich notwendig ist. Und, ist es notwendig, die Positionen von Atomen anzugeben, die sich alle, die Bescheid wissen, aus den Positionen anderer Atome durch Anwendung von Symmetrieoperationen selbst ausrechnen können ? Sicher haben Sie in den beiden Tabellen oben schon einige Regelmäßigkeiten entdeckt, und gleich, nach ein paar Zeilen, wissen Sie selbst Bescheid.

Der Ablauf geht so.

Auch die Profimethode wird an den 2 Beispielen ausgeführt.

Natriumchlorid NaCl

Beschreibung der Elementarzelle von Natriumchlorid
Mindestangaben in der Literatur Was sie daraus ermitteln können
Raumgruppe
 
 
Nr. 225
 
 

 
 
Die Elementarzelle ist kubisch.
a = b = c
α = β = γ = 90°
Parameter der Elementarzelle a = 564,0 pm b = c = 564,0 pm
Wyckoff–Position Na
 
 
4a : ( 0 / 0 / 0 )
 
 

 
 
Na : ( 0 / 0,5 / 0,5 )
Na : ( 0,5 / 0 / 0,5 )
Na : ( 0,5 / 0,5 / 0 )
Wyckoff–Position Cl
 
 
4b : ( 0,5 / 0,5 / 0,5 )
 
 

 
 
Cl : ( 0,5 / 0 / 0 )
Cl : ( 0 / 0,5 / 0 )
Cl : ( 0 / 0 / 0,5 )

Rutil TiO2

Beschreibung der Elementarzelle von Rutil
Mindestangaben in der Literatur Was sie daraus ermitteln können
Raumgruppe
 
 
Nr. 136
 
 

 
 
Die Elementarzelle ist tetragonal.
a = b
α = β = γ = 90°
Parameter der Elementarzelle
 
a = 459,4 pm
c = 295,9 pm

 
b = 459,4 pm
 
Wyckoff–Position Ti 2a : ( 0 / 0 / 0 ) Ti : ( 0,5 / 0,5 / 0,5 )
Wyckoff–Position O
 
 
 
4f : ( x / x / 0 )
        x = 0,3048
 
 

 
 
 
O : ( 0,3048 / 0,3048 / 0 )
O : ( 0,6952 / 0,6952 / 0 )
Cl : ( 0,1952 / 0,8048 / 0,5 )
Cl : ( 0,8048 / 0,1952 / 0,5 )

Zusammenfassung

Man kann Kristallstrukturen durch Angabe der Elementarzelle und aller Atompositionen beschreiben.
      Vorteil : exakt, vollständig
      Nachteil : unanschaulich

 

Graphiken – statisch oder interaktiv

Bilder motivieren – Es hat schon seinen Grund, dass man einen Abschnitt eines Buches, der keine Bilder enthält, eine Textwüste nennt. Deshalb finden Sie überall auf meinen Seiten neben ausführlichem Text (der nun mal zum Verständndis nötig ist) reichlich Bilder.

Elementarzelle von Natriumchlorid

Bild 5 : Elementarzelle von Natriumchlorid. Die Natrium–Ionen sind violett gezeichnet, die Chlor–Ionen grün.

Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte – Alle Menschen haben mehrere Eingangskanäle, mit denen sie Informationen aufnehmen. Lesen, Hören, Sehen, Tun sind wichtige. Ihre Effektivität steigt in der genannten Reihenfolge. Das heißt, durch Selbermachen lernen die meisten Menschen etwas am besten, durch Sehen am zweitbesten, durch Hören oder Lesen nur schlecht. Das ist Ihnen vielleicht nicht neu, aber es ist gut, das wieder ins Bewusstsein zu rufen. Und weil wir durch Sehen leichter lernen als durch Lesen, kann man in einem Bild viel mehr Informationen auf wenig Raum unterbringen.

interaktive Graphiken – Natürlich ist das Drehen des Bildes eines Moleküls nicht mit dem Anfassen eines realen Gegenstandes zu vergleichen. Viele Menschen sind aber darin geübt, sich anhand einer flachen zweidimensionalen Darstellung den wirklichen dreidimensionalen Gegenstand vorzustellen (besonders die, sich „zu viel” mit Computern und Spielen beschäftigen). Deshalb finden Sie auf meinen Seiten immer wieder interaktive Visualisierungen von Molekülen und Kristallen.

Elementarzelle von Rutil, von der Seite Elementarzelle von Rutil, von oben

Bild 6 : Elementarzelle von Rutil, erst von der Seite, dann von oben. Die Titan–Ionen sind violett gezeichnet, die Sauerstoff–Ionen rot.

Gibt es auch Nachteile ? – Ja.

Beispiel Natriumchlorid NaCl – Die meisten Menschen sind darin geübt, Symmetrien zu erkennen, und die Elementarzelle von Natriumchlorid ist eine der symmetrischsten überhaupt. Die Ionen sind anden Ecken des Würfels, in der Mitte der Kanten, in der Mitte der Flächen und in der Mitte des Würfels. In Bild 5 sehen wir das so, weil wir es genau so erwarten.

Beispiel Rutil TiO2 – Die meisten Menschen sind darin geübt, Symmetrien zu erkennen, auch wenn keine da sind, und fallen beim Rutil auf die Nase. Sehen Sie sich Bild 6 an und überlegen Sie sich, ob Sie nur anhand des Bildes auf die richtigen Antworten gekommen wären. Ist die Elementarzelle genauso hoch wie tief ? (Nein, obwohl es so aussieht. Die Perspektive führt uns in die Irre.) Liegen die Sauerstoff–Ionen zwischen den Titan–Ionen A und B genau auf der Diagonalen ? (Ja.) Teilen Sie die Diagonale in 3 gleiche Teile ? (Nein, etwa 10 % Abweichung.) Haben alle 6 Sauerstoff–Ionen den gleichen Abstand vom Titan–Ion in der Mitte der Elementarzelle ? (Nein, aber nicht, weil es im zweiten Teil von Bild 6 so aussieht. Das Bild ist hier eine böse Falle. Die Sauerstoff–Ionen, die scheinbar ganz nah beim Titan–Ion liegen, liegen in einer anderen Ebene und haben dadurch einen größeren Abstand. Die wirklichen Abstände muss man ausrechnen, es geht nicht anders.)

 

Man kann Kristallstrukturen graphisch veranschaulichen.
      Vorteil : motivierend, anschaulich
      Nachteil : wenig exakt, Probleme durch Perspektive

 

Schnittsequenzen (engl. section sequences)

Die Idee ist einfach, und sicher kennen Sie sie schon. Stellen Sie sich einen Plan eines Einkaufszentrums vor, in dem zuerst alle Geschäfte des Untergeschosses eingezeichnet sind, darüber alle Läden vom Erdgeschoss, und so weiter.

Dasselbe machen wir mit der Elementarzelle. Wir legen mehrere Schnittebenen und können zuerst sehen, welche Atome oder Ionen ganz unten in der Elementarzelle sind und wie weit sie voneinander entfernt sind. Auf den weiteren Ebenen sehen wir die Atome oder Ionen, die weiter oben, zum Beispiel in halber Höhe der Elementarzelle liegen. Bald wird sich zeigen, dass man noch mehr aus den Schnittebenen ablesen kann.

Elementarzelle von NaCl mit Schnittebenen

Bild 7 : Elementarzelle von NaCl mit 3 Schnittebenen.

Schnittsequenz durch die Elementarzelle von NaCl

Bild 8 : Schnittsequenz durch die Elementarzelle von NaCl.

Beispiel Natriumchlorid NaCl

Betrachten wir Bild 7. Es zeigt die bekannte Elementarzelle von Natriumchlorid (NaCl), dazu sind als rote Pfeile die Richtungen der Koordinatenachsen eingezeichnet. Besonders die z–Achse wird gleich wichtig werden. Die Natrium–Ionen sind violett gezeichnet, die Chlor–Ionen grün. Weiter sind 3 Schnittebenen durch die Elementarzelle gelegt. Die Schnittebene am unteren Rand habe ich rot gezeichnet, die nächste, genau auf halber Höhe, blau, und die letzte, am oberen Rand, grün. Die z–Achse zeigt nach oben, deshalb hat die Ebene auf halber Höhe die Kristallkoordinate z=0,5, und entsprechend die Ebenen am unteren und oberen Rand z=0,0 und z=1,0.

Schnittebenen  – Bild 8 zeigt das Ergebnis des Schnittes der 3 Ebenen mit der Elementarzelle. Eine solche Folge von Schnittebenen nennt man eine Schnittsequenz (engl. section sequence).

Fangen wir, wie üblich, unten an. Dort, wo die rote Ebene die Elementarzelle schneidet (also bei z=0,0), sind an den Ecken Natrium–Ionen, ebenso in der Mitte der Schnittebene. Chlor–Ionen finden sich jeweils in der Mitte der Kanten. Genau diese Situation sehen Sie im unteren Teil von Bild 8.

Für die mittlere, blaue Schnittebene bei z=0,5 können wir ganz analog argumentieren. Chlor–Ionen sind an den Ecken und in der Mitte, Natrium–Ionen auf den Kantenmitten. Der mittlere Teil von Bild 8 spiegelt die Situation wider.

Für die obere, grüne Schnittebene bei z=1,0 können wir uns die Argumentation leichter machen. Diese Ebene liegt am oberen Rand der gezeichneten Elementarzelle und gleichzeitig am unteren Rand der darüberliegenden. Da sie am unteren Rand einer Elementarzelle liegt, muss sie gleich der roten Ebene am unteren Rand der gezeichneten Zelle sein. Daher könnte man eigentlich den oberen Teil von Bild 8 weglassen, denn er ist redundant. Wegen der besseren Anschaulichkeit lässt man ihn aber gewöhnlich stehen.

nächste Nachbarn  – Schnittsequenzen helfen, sich ein Bild über die Nachbarschaft eines Atoms oder Ions zu machen. Betrachten wir das Ion B in Biild 8. Es ist ein Natrium–Ion (violett). Sofort sieht man 3 Chlor–Ionen als nächste Nachbarn. Ein viertes Chlor–Ion erschließt man sich leicht. Es liegt unterhalb von B (auf Bild 8) bzw. vor B (auf Bild 7), hat also auch die Koordinate z=0,5.

Der Vorteil der Schnittsequenzen ist, dass man schnell sieht, dass die Chlor–Ionen A und C ebenfalls nächste Nachbarn von B sind. Sie liegen direkt unter bzw. über B, und sie haben denselben Abstand wie die anderen 4 nächsten Nachbarn, nämlich eine halbe Kantenlänge der Elementarzelle. Das Natrium–Ion B hat 6 nächste Nachbarn. Es sind Chlor–Ionen, die es oktaedrisch umgeben.

übernächste Nachbarn  – Die nächsten Nachbarn des Chlor–Ions M (in der Würfelmitte, z=0,5) kann man wie eben herausfinden. Es sind 6 Natrium–Ionen. Aber was ist mit den übernächsten Nachbarn ? Im mittleren Teil von Bild 8 sehen wir 4 Chlor–Ionen an den Ecken der Schnittebene. Sie sind weiter als die Nachbar–Natrium–Ionen entfernt, aber nach diesen die nächsten. Ihre Entfernung zu M beträgt eine halbe Flächendiagonale der Elementarzelle. Gibt es noch weitere Nachbarn im gleichen Abstand ? Ja, aber nur sehr Geübte sehen es aus Bild 8, dass alle 8 Chlor–Ionen im unteren und im oberen Teil von Bild 8 ebenfalls den Abstand einer halben Flächendiagonale haben. Wir brauchen zusätzliche Werkzeuge.

 

Elementarzelle von Rutil mit Schnittebenen

Bild 9 : Elementarzelle von Rutil mit 3 Schnittebenen.

Schnittsequenz durch die Elementarzelle von Rutil

Bild 10 : Schnittsequenz durch die Elementarzelle von Rutil.

Beispiel Rutil TiO2

Betrachten wir Bild 9, dass die Elementarzelle von Rutil zeigt und gehen analog zum Natriumchlorid vor. Wie dort sind 3 Schnittebenen durch die Elementarzelle gelegt, sie liegen in gleichen Höhen und sind genauso farbcodiert. Dass die Titan–Ionen (violett) an den Ecken und im Mittelpunkt des Quaders liegen, sieht man sofort, aber die Lage der Sauerstoff–Ionen (rot) erschließt sich nicht von selbst. Bild 10 hilft weiter.

Schnittebenen  – Bild 10 zeigt das Ergebnis des Schnittes der 3 Ebenen mit der Elementarzelle. Die Schnittebenen sind Quadrate. Jedoch ist die Elementarzelle kein Würfel, sondern nur ein Quader. Deshalb liegen die Ebenen dichter übereinander als beim Natriumchlorid.

In die untere (rot markierte) Ebene habe ich einige Hilfslinien eingezeichnet. So sehen Sie leicht, dass die beiden Sauerstoff–Ionen auf der Diagonalen liegen. 2 gestrichelte Linien teilen die Ebene in 3 gleiche Teile. Die Sauerstoff–Ionen liegen nicht auf diesen Linien, sondern sind etwas nach außen gerückt. Sie teilen die Diagonale also nicht in 3 gleiche Teile. Natürlich sind die Titan–Ionen an den Ecken.

In der mittleren (blau markierten) Ebene bei z=0,5 ist exakt in der Mitte ein Titan–Ion. Auf der Diagonalen sind weit außen, fast an den Ecken, Sauerstoff–Ionen. Die obere (grün markierte) Ebene ist mit der unteren identisch.

Nachbarn  – Das Titan–Ion M hat 2 Sauerstoff–Ionen in der gleichen Ebene (z=0,5) als Nachbarn. Natürlich haben sie die gleiche Entfernung vom Titan–Ion. Aber was ist mit den insgesamt 4 SauerstoffIonen in der unteren und der oberen Ebene ? Man kann sich ohne Probleme klarmachen, dass alle 4 gleichweit von M entfernt sind. Aber ob die Entfernung dieser 4 zu M größer, kleiner oder gleich der Entfernung von  zu den beiden Sauerstoff–Ionen in der gleichen Ebene ist, kann man der Zeichnung nicht entnehmen. Wir brauchen zusätzliche Werkzeuge.

Und wie sieht es mit den Nachbarn des Sauerstoff–Ions B aus ? Klar, M ist nicht weit und sicher ein Nachbar. Aber auch A und C liegen nicht weit von B. Sie sind fast direkt unter bzw. über B, nur etwas zur Seite verschoben. Sind sie genauso weit von B entfernt wie M, oder näher, oder weiter ? Die Grenzen der Schnittsequenzen werden immer deutlicher. Und zu den übernächsten Nachbarn kann man mit dieser Methode überhaupt nichts sagen. Wir brauchen zusätzliche Werkzeuge.

 

Schnittsequenzen sind Ebenen, die durch die Elementarzelle gelegt werden.
      Vorteil : anschaulich, zeigt Nachbar–Beziehungen
      Nachteil : benötigt Erfahrung

 

Atomumgebungen (engl. atomic environment)

Die Frage, wie die Nachbarschaft eines Atoms oder Ions in einem Kristall aussieht, ist oft von großer Bedeutung. Zwischen dem Atom oder Ion und anderen solchen Teilchen, die nah bei ihm liegen, wirken Kräfte. Es sind elektrostatische Kräfte, und sie sind die Ursache der Bindungen. Will man also wissen, welche Bindungen zwischen den Atomen oder Ionen in einem Kristall wirken (und das will man oft wissen), ist es nützlich, einige Dinge zu wissen.

Die Schnittsequenzen aus dem vorigen Abschnitt konnten diese Fragen nur ansatzweise beantworten. Die Atomumgebung ist das zusätzliche Werkzeug, das ich dort in Aussicht gestellt habe.

Wie geht man vor ? – Man wählt ein beliebiges Atom oder Ion aus der Elementarzelle. Dann berechnet man seinen Abstand zu anderen Atomen oder Ionen. Damit sind nicht nur die Teilchen in der Elementarzelle gemeint, sondern auch weiter entfernte, bis zu einer Grenze, die man letztenendes selbst setzt. Die Abstandsberechnung ist eine langweilige und zeitaufwendige Arbeit, die ich einem Rechner überlasse. Die Ergebnisse stellt man in einem Histogramm dar und zieht Folgerungen daraus.

Dieses Verfahren wiederholt man für alle Atome oder Ionen der Elementarzelle (genau genommen, für alle Teilchen der asymmetrischen Einheit).

Histogramm zur Umgebung der Ionen in NaCl Histogramm zur Umgebung der Ionen in NaCl

Bild 11 : Umgebung der Ionen in NaCl. Die Elemente sind farbcodiert.
Chlor
Natrium

Wie liest man das Histogramm ? – Beispiel Natriumchlorid NaCl – In diesem Abschnitt wollen wir versuchen, das Histogramm zu verstehen und möglichst viele Informationen aus ihm heraus zu lesen. Damit das gelingt, habe ich ein Beispiel gewählt, mit dem viele vertraut sein werden. Wir können also unsere Vermutungen (das, was wir glauben, aus dem Histogramm heraus lesen zu können), sofort an der Realität (dem tatsächlichen Aufbau des Natriumchlorid–Kristalls) messen.

Beginnen wir mit dem ersten Histogramm von Bild 11.

Beim zweiten Histogramm von Bild 11 können wir uns kürzer fassen – zum Glück. Ich möchte Ihre Aufmerksamkeit nur auf 2 Punkte lenken.

Histogramm zur Umgebung der Ionen im Rutil Histogramm zur Umgebung der Ionen im Rutil

Bild 12 : Umgebung der Ionen im Rutil (TiO2). Die Elemente sind farbcodiert.
Sauerstoff
Titan

Wie liest man das Histogramm ? – Beispiel Rutil TiO2

Wenn wir uns die beiden Histogramme in Bild 12 ansehen, fallen schnell 3 Dinge auf.

Kann man trotzdem irgend etwas aus den Histogrammen herauslesen ? Ja, sicher. Geschickt ist es, dabei die Bilder 9, 10 und 12 gemeinsam zu betrachten.

Die asymmetrische Einheit von Rutil umfasst ein Sauerstoff–Ion und ein Titan–Ion. Wir brauchen uns also von jeder Ionensorte nur ein Ion anzusehen. Es ist egal, welches wir wählen, denn durch die Symmetrie haben alle anderen dieselbe Umgebung. Wählen wir also praktisch.

Zuerst das Sauerstoff–Ion. Wir wählen Ion B in Bild 10.

Nun das Titan–Ion. Wir wählen Ion M in Bild 10.

 

Atomumgebungen beschreiben Zahl und Abstand der Atome, die sich um ein anderes Atom herum befinden.
      Vorteil : exakt, zeigt Nachbar–Beziehungen
      Nachteil : wenig anschaulich, benötigt Erfahrung

 

 

Exkurs : Eigenschaften von Elementarzellen

Plan einer Elementarzelle

Bild 13 : Nur Quadrat A ist eine Elemen­tar­zelle des Musters. Mehr Info im Text.

Plan einer Elementarzelle

Bild 14 : Aus dem Quadrat A kann man das gesamte Muster der Fläche aufbauen.

Ist es eine Elementarzelle oder nicht ? – Bild 13 illustriert die Definition der Elementarzelle aus dem vorigen Absatz an einem zweidimensionalen Modell (weil es übersichtlicher ist). Das Modell enthält 2 Arten von Atomen, die orange und blau gezeichnet sind. Quadrat B ist die kleinste Einheit, die beide Atomsorten enthält, aber man kann daraus nicht die gesamte Fläche aufbauen. Würde man ein zweites Quadrat B an die rechte Seite des ersten legen, wäre es anders aufgebaut als das erste. Es hätte links oben ein orangefarbenes Atom, und nicht wie beim ersten Quadrat, ein blaues.

Ähnlich kann man bei den Flächen C und D argumentieren. Legt man eine Fläche C rechts oder links an die vorhandene, wiederholt sich das Muster der Atome, nicht aber in senkrechter Richtung. Bei Fläche D wiederholt sich das Muster schräg nach oben, aber nicht in anderen Richtungen.

Nur Quadrat A ist eine Elementarzelle der Atomanordnung von Bild 13. In Bild 14 ist gezeigt, wie man durch Aneinanderreihung des Quadrats das gesamte Muster aufbauen kann.

 

mehrere denkbare Elementarzellen

Bild 15 : Auswahl von 6 denkbaren Elementarzellen. Mehr Info im Text.

Ist die Elementarzelle eindeutig ? – Nein. Bild 15 zeigt 6 kleine Flächen, aus denen man durch wiederholte Aneinanderreihung die Gesamtfläche aufbauen kann. Alle kann man mit Recht Elementarzelle nennen. Pragmatisch, um möglichst chaosfrei mit den Fachkollegen kommunizieren zu können, hat man Regeln aufgestellt, wie denn eine Elementarzelle aussehen sollte, mit der man praktisch arbeiten kann. Jedoch werden diese Regeln nicht streng eingehalten, schon deshalb, weil sie sich zum Teil widersprechen. Eine historisch gewachsene Wahl gewinnt manchmal gegenüber einer begründeten.

Eine Elementarzelle sollte

Betrachten wir nun einige der denkbaren Elementarzelle in Bild 15.

 

 

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