Elementarzellen und die Positionen der Tetraeder– und Oktaederlücken

Achtung ! Keine Mathematik !
Sollten Sie hier eine tiefgründige mathematische Darstellung zu den Themen Elementarzelle, Kristallkoordinaten, Tetraeder– und Oktaederlücken der beiden dichtesten Kugelpackungen erwarten, muss ich Sie enttäuschen. Es wird nur wenig Anspruchsvolleres als Grundschulrechnen gebraucht.

Jedoch hilft Ihnen ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen, diese Dinge zu verstehen. Ich werde Sie dabei, wie immer, mit Graphiken und Jmol–Visualisierungen unterstützen.

Wozu ist das alles gut ?

Auf den vorigen Seiten habe ich ausführlich die beiden dichtesten Kugelpackungen beschrieben und bin auf die Tetraeder– und Oktaederlücken in diesen Packungen eingegangen. Auf der Seite über binäre Kristallstrukturen habe ich erklärt, dass viele Kristallstrukturen dadurch entstehen, dass eine Ionensorte eine dichteste Kugelpackung bildet und eine andere Ionensorte einige oder alle Lücken dieser Packung besetzt. Um solche Strukturen wirklich zu verstehen, ist es sinnvoll, zu wissen, wo genau die Lücken liegen. Bei der Beantwortung dieser Frage hilft die Idee der Elementarzelle und eine zahlenmäßige Beschreibung der Lückenpositionen. Eine Zwischenstation auf diesem Weg sind Kristallkordinaten.

Auf dieser Seite geht es im einzelnen um

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Die Elementarzelle

Was ist das ?

Darüber kann man dicke Bücher schreiben. Wir wollen uns hier mit einer pragmatischen Definition begnügen.

Eine Elementarzelle ist ein möglichst kleiner Ausschnitt eines Kristalls, aus dem man durch endlose Wiederholung den gesamten Kristall konstruieren kann.

Die Elementarzelle der kubisch dichtesten Kugelpackung

Wie sieht sie aus ?

Fangen wir mit dieser an, denn sie ist am leichtesten zu verstehen. Dass die kubisch dichteste Packung gleichzeitig eine kubisch flächenzentrierte Packung ist, habe ich schon beschrieben.

Die Elementarzelle sieht also aus wie auf dem Bild rechts. Sie sehen deutlich, dass die Elementarzelle ein Würfel ist. An jeder der 8 Würfelecken ist ein Atom. 4 weitere Atom liegen gut erkennbar auf den Mittelpunkten der Würfelfächen. 2 Atome scheinen frei im Raum zu schweben – sie liegen auf den Mittelpunkten der vorderen und der hinteren Würfelfläche.

Wieviele Atome enthält die Elementarzelle ?

Sehen wir uns zuerst die Atome an den Würfelecken an. Sie sind ja nicht vollständig im Würfel enthalten, sondern nur zu einem Teil. Wie groß ist dieser Teil ? Diese Frage ist leicht zu beantworten, wenn wir bedenken, dass jedes der Eckatome zu 8 Würfeln gehört. Zu jedem Würfel gehört also ein Achtel Eckatom. Da es 8 Eckatome gibt, haben wir 8 mal ein Achtel Atom, also ein Atom. Die 8 Atome an den Würfelecken steuern ein Atom zur Elementarzelle bei.

Die Atome auf den Flächenmittelpunkten sind leichter zu verstehen. Jedes von ihnen gehört zu 2 Würfeln, nämlich zu dem gezeichneten Würfel und einem Nachbarwürfel. Zum betrachteten Würfel gehört also ein jeweils die Hälfte des Atoms. Da es 6 Atome auf den Flächenmittelpunkten gibt, erhalten wir 6 mal ein halbes Atom, also 3 Atome. Die 6 Atome auf den Flächen steuern 3 Atome zur Elemenrazelle bei.

Aus den beiden vorigen Absätzen erkennen wir, dass die Elementarzelle 4 Atome enthält.

Die Elementarzelle der hexagonal dichtesten Kugelpackung

Wie sieht sie aus ?

Dass die Elementarzelle der kubisch dichtesten Packung ein Würfel ist, sieht man schnell. Aber wie sieht die Elementarzelle der hexagonal dichtesten Packung aus ? Das ist schwerer zu verstehen.

 

Beginnen wir mit der Grundfläche. Auf dem Bild links sehen Sie, dass es eine Raute (ein Rhombus) ist, denn durch endlose Wiederholung der Raute kann man die ganze Grundfläche konstruieren. Die Winkel in der Raute betragen 60° und 120°.

 

 

Wie hoch ist die Elementarzelle, lautet nun die zweite Frage. Als es um den Aufbau der hexagonal dichtesten Kugelpackung ging, haben Sie gesehen, dass sich der Aufbau nach 2 Schichten wiederholt. Die Elementarzelle ist also 2 Atomschichten hoch. Auf dem Bild links sehen Sie es.

Die Elementarzelle hat somit die Form eines Prismas.

 

Wieviele Atome enthält die Elementarzelle ?

Sehen Sie sich dazu die beiden Bilder links an. Sie zeigen die Elementarzelle der hexagonal dichtesten Packung, erst von der Seite, dann von oben. Mit denselben Argumenten wie bei der kubischen Packung sehen Sie, dass an jeder der 8 Ecken des Prismas ein Atom sitzt. Es gehört zu 8 Prismen (d.h. zu 8 Elementarzellen), und zwar zu je einem Achtel. Die 8 Eckatome steuern wieder ein Atom zur Elementarzelle bei.

Und dann ist noch ein Atom im Prisma. Es ist zwar nicht in der Mitte, aber doch vollständig im Prisma, und zählt deshalb auch als ganzes Atom.

In den beiden vorigen Absätzen konnten wir 2 Atome sammeln. Die Elementarzelle enthält somit 2 Atome.

Und nun ? Sind wir fertig ?

Wie üblich, nein. Wo liegt denn das Atom in der hexagonalen Elementarzelle ? „Irgendwo da drin” reicht ja nicht. Wo liegt es denn genau ? Um diese Frage beantworten zu können (und ganz ähnliche Fragen zu den Tetraeder– und Oktaederlücken), brauchen wir als Hilfsmittel die Kristallkoordinaten.

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Kristallkoordinaten

Da die Kristallkoordinaten nur ein Hilfsmittel zur Beschreibung von Atompositionen sind, werde ich das Thema so kurz wie möglich halten.

Das Koordinatensystem der kubisch dichtesten Kugelpackung

Es ist das, das Sie aus der Schule kennen. Die 3 Achsen stehen senkrecht aufeinander. Die Elementarzelle liegt so darin, dass eine Würfelecke im Ursprung (Nullpunkt) liegt. Die Achsen des Koordinatensystem verlaufen längs der Würfelkanten. Im Bild rechts sehen Sie es. Die z–Achse müssen Sie ein wenig suchen, aber sie ist da.

Der Maßstab

Jedes Koordinatensystem braucht einen Maßstab. Und was für einen Maßstab hat dieses ? Misst man in Metern oder Nanometern, und wo ist die 1, und wie lang ist überhaupt der Elementarzellenwürfel ?

Fangen wir mit der letzten Frage an. Die Antwort heißt : Es kommt drauf an. Bei verschiedenen Stoffen ist die Elementarzelle unterschiedlich groß. Hier ein paar Beispiele.

Stoff Kantenlänge der
Elementarzelle
in Picometern (pm)
361,5
408,5
407,8
558,8
424,2
620,2

Alle Stoffe der Tabelle kristallisieren in der kubisch dichtesten Packung, nur die Elementarzelle hat jedesmal eine andere Größe. Man bekommt all diese gleichen und doch unterschiedlichen Elementarzellen ganz leicht unter einen Hut. Der geniale Trick ist, die Kantenlänge des Würfels gleich 1 zu setzen. Die Länge (und auch die Breite und Höhe) des Würfels ist immer 1, egal um welchen Stoff es geht.

Bei Kupfer entspricht die 1 also 361,5 pm, bei Silber 408,5 pm, und so weiter. Damit ist auch die zweite Frage von oben beantwortet. Die Eins liegt immer am Ende der Elementarzelle.

Und die Einheit, in der wir messen, ist – nein, nicht Picometer. Es gibt keine solche absolute Einheit. Die Einheit ist die Eins. Alle künftigen Rechnungen beziehen sich auf diese 1 (die je nach Stoff für verschiedene Längen steht). Die 1 ist eine relative Einheit, und die Kristallkoordinaten sind relative Koordinaten.

Das Koordinatensystem der hexagonal dichtesten Kugelpackung

 

So sehr unterscheidet es sich von dem vorigen nun auch wieder nicht. Die x– und die y–Achse stehen nicht mehr senkrecht aufeinander, sondern bilden einen Winkel von 120°. Die z–Achse steht senkrecht auf den beiden anderen.

Natürlich liegt eine Ecke der prismenförmigen Elementarzelle wieder im Ursprung (Nullpunkt), und ihre Kanten verlaufen längs der Koordinatenachsen. Oder sollten wir besser sagen, die Koordinatenachsen verlaufen längs der Kanten der Elementarzelle, denn so haben wir ja das Koordinatensystem konstruiert.

 

Der Maßstab

Hier können wir uns kürzer fassen, denn die Argumente sind dieselben wie bei der kubisch dichtesten Packung. Wir benutzen wieder relative Koordinaten, und die Einheit (die Eins) liegt immer „am Ende” der Elementarzelle. Auf der x– und der y–Achse sind die Einheiten gleich lang, auf der z–Achse beträgt die Einheit das 1,633–fache wie auf den anderen beiden Achsen. Auf den Bildern oben können Sie das gut erkennen.

Einschub – Warum gerade das 1,633–fache ? Wenn Sie noch einmal die Bilder zu den Tetraederlücken der hexagonal dichtesten Packung betrachten, sehen Sie, dass die Höhe von 2 Kugelschichten (und das ist ja die Höhe der Elementarzelle) genau der Höhe von 2 Tetraedern entspricht, deren Seitenlänge der Abstand von 2 Kugeln ist. Dieser Abstand ist aber gerade die Einheit auf x– und y–Achse. Die Höhe eines Tetraeders ist sqrt(2/3) (=0,8165) mal seiner Kantenlänge. Die Höhe von 2 Teatraedern ist das Doppelte davon, also 1,633.

Und zum Schluss noch ein paar Beispiele. Prüfen Sie nach, dass die Abweichung vom theoretischen Quotienten (1,633) immer weniger als 3,5 % beträgt.

Stoff Kantenlängen der
Elementarzelle
in Picometern (pm)
Quotient
250,7 und 407,0 1,623
270,6 und 428,2 1,582
273,4 und 431,7 1,579
295,1 und 468,6 1,588
323,2 und 514,7 1,593
345,7 und 552,5 1,598

 

Die Kristallkoordinaten

Die Positionen der Atome können wir jetzt in den oben beschriebenen Koordinatensystemen angeben. Das sind die Kristallkoordinaten. Es kommen nur die Zahlen 0, 1 und 0,5 vor, und das der Lohn unserer Arbeit. Alles ist schön übersichtlich.

Atompositionen in der kubisch dichtesten Packung

Zur Elementarzelle gehören, zumindest teilweise, 14 Atome.

Atompositionen in der hexagonal dichtesten Packung

Zur Elementarzelle gehören, zumindest teilweise, 9 Atome.

 

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Die Positionen der Lücken

Es geht um die Tetraederlücken und die Oktaederlücken in der kubisch und in der hexagonal dichtesten Kugelpackung. Dieser Abschnitt hat also 4 Teile.

Die Tetraederlücken in der kubisch dichtesten Packung

Wo sind die nur ? Wie groß sind sie ? Wie sind sie gegenseitig angeordnet ? Haben Sie auch keinen Plan ? Ich auch erst mal nicht. In einer solchen Situation fange ich gern mit dem an, was ich sicher weiß. In der Elementarzelle sind 4 Atome. Bei der Besprechung der kubischen Packung haben wir gehört, dass es pro Atom 2 Tetraederlücken gibt. In der Elementarzelle sind also 8 Tetraederlücken. – Acht ?  – Ja, Acht ! Und der Elementarzellenwürfel hat 8 Ecken, und in jeder sitzt ein Atom. Nehmen wir also ein Eckatom (zum Beispiel das im Ursprung) und sagen uns, bestimmt gehört es zu einer Tetraederlücke.

Nun suchen wir einen Tetraeder, der den Ursprung enthält. Ein Tetraeder hat 4 Ecken, die alle gleichweit voneinander entfernt sind. Wir brauchen also 3 Atome, die gleichweit vom Ursprung entfernt sind. Es sind 3 der Atome auf den Flächenmitten. Ihr Abstand zum Ursprung beträgt jeweils eine halbe Flächendiagonale. Die 3 Atome auf den Flächenmitten müssen aber auch untereinander den Abstand „halbe Flächendiagonale” haben. Sehen Sie sich den Würfel von oben, von vorn und von der Seite an, und Sie erkennen, dass wir Glück gehabt haben. Alle Abstände betragen eine halbe Flächendiagonale, und wir haben einen Tetraeder gefunden. Auf dem ersten Bild sehen Sie ihn.

Der Tetraeder ist da, aber wo ist die Tetraederlücke ? Oder anders gefragt, wo ist die Stelle, an der ein Atom bzw. eine Kugel liegt, das die Tetraederlücke besetzt ? Sie ist im Schwerpunkt des Tetraeders. Ähm, und wo ist der jetzt ? Oh, wir brauchen außer dem Grundschulrechnen noch eine Formelsammlung. Die sagt uns, dass die Koordinaten des Schwerpunkts der Mittelwert der Eckpunktkoordinaten sind.

  • Die Eckpunkte des Tetraeders sind (0/0/0), (0/0,5/0,5), (0,5/0/0,5) und (0,5/0,5/0).
  • Die x–Koordinate des Schwerpunkts ist xs = ( 0 + 0 + 0,5 + 0,5 ) / 4 = 0,25 .
  • Auch die anderen beiden Koordinaten sind ys = 0,25 und zs = 0,25 .

Die erste Tetraederlücke hat die Koordinaten (0,25/0,25/0,25).

Kann man sich die Lage dieser Tetraederlücke anschaulich vorstellen ? Ja. Denken Sie sich den Elementarzellenwürfel (er hat die Kantenlänge 1) in 8 kleine Würfel geteilt. Diese Achtelwürfel haben die Kantenlänge 0,5. Der Mittelpunkt des ersten Achtelwürfels ist also (0,25/0,25/0,25), und das ist die Position der Tetraederlücke.

Dieselben Gedankengänge können Sie noch 7 mal durchführen, für die anderen 7 Würfelecken. Es passiert immer dasselbe, und in den 3 Bildern können Sie es (ein Stück weit) sehen.

Auf dem ersten Bild sehen Sie nur einen Tetraeder. Natürlich ist ein Tetraeder ein regelmäßiger Körper. Er hat keine Spitze und keinen Boden. Für einen Moment tun wir trotzdem so, als wäre die Würfelecke die Tetraederspitze und das blaue Dreieck der Boden. Es ist der erste im Text beschriebene Tetraeder.

Auf dem zweiten Bild sind schon 3 Tetraeder. Jeder hat seine „Spitze” an einer Würfelecke und seinen „Boden” im Würfelinnern. Je 2 Tetraeder haben eine gemeinsame Kante.

Auf dem dritten Bild sind 4 Tetraeder, und wir betrachten die Szene von unten. Die pyramidenförmige Höhle ist gut zu sehen. Sie ist von den blauen Linien umrandet. Ob wir wohl etwas Passendes finden, sie zu füllen ?

 

Jmol–Visualisierung der Tetraederlücken ansehen

 

Die Tetraederlücken der kubisch dichtesten Kugelpackung liegen in den Mittelpunkten der Achtelwürfel.

Die Oktaederlücken in der kubisch dichtesten Packung

Oktaederlücken sind groß. Sie sind fast doppelt so groß wie Tetraederlücken, d.h. es passen fast doppelt so große Atome hinein wie in Tetraederlücken (Erklärung dazu). Wo ist soviel Platz in der Elementarzelle ? Im Innern des Würfels. Dort ist noch kein einziges Atom, und dort ist auch die erste Oktaederlücke.

Sehen Sie sich auch noch mal das dritte Bild der Reihe oben an. 4 Tetraederlücken bilden einen pyramidenförmigen Hohlraum, und ein halber Oktaeder ist ja eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Passt !

Die erste Oktaederlücke hat die Koordinaten (0,5/0,5/0,5). Sie ist genau in der Mitte der Elementarzelle. Auf dem ersten Bild rechts sehen Sie sie.

Weiter oben haben wir gelesen, dass die Elementarzelle der kubisch dichtesten Packung 4 Atome enthält. Bei der Besprechung der kubischen Packung haben wir gehört, dass es pro Atom eine Oktaederlücke gibt. In der Elementarzelle sind also 4 Oktaederlücken.

Wo sind die anderen drei ? Dort wo Platz ist. Die Kantenmitten des Würfels sind noch atomfrei. Ob da wohl Platz für eine Oktaederlücke ist ? Probieren wir es aus. Setzen wir den Mittelpunkt eines Oktaeders auf die Mitte einer Kante, zum Beispiel derjenigen, die in Blickrichtung oben rechts ist. Die 2 nächsten Atome sind an den benachbarten Würfelecken. Der Abstand beträgt eine halbe Kantenlänge. 2 weitere Atome auf den Flächenmitten (der Flächen rechts und oben) sind auch eine halbe Käntenlänge entfernt. Und auf den Nachbarwürfeln rechts und oben finden wir auch noch je ein Atom im Abstand einer halben Kantenlänge. Der Abstand ist derselbe wie beim vorigen Oktaeder. Wir haben einen zweiten Oktaeder gefunden.

Dieser zweite Oktaeder gehört aber nicht vollständig zu unserem Würfel. Auf dem zweiten Bild sehen Sie, dass er noch an 3 weiteren Würfeln, insgesamt also an 4 Würfeln, beteiligt ist. Zu unserem, gerade betrachteten Würfel gehört ein Viertel. Wir brauchen noch 11/4 Oktaeder, um die fehlenden 3 Oktaeder aufzusammeln.

Zum Glück hat ein Würfel 12 Kanten. Mit jeder können wir dasselbe Spiel treiben, und wir erhalten 12/4 = 3 Oktaeder. Glück gehabt ! – Glück ? – Nein, Verstand !

Auf dem ersten Bild sehen Sie einen Oktaeder. Sein Mittelpunkt ist in der Würfelmitte. Der Abstand zu den Nachbaratomen ist eine halbe Kantenlänge (des Würfels). Die Kantenlänge des Oktaeders ist eine halbe Flächendiagonale des Würfels.

Nun sind es 2 Oktaeder. Je 2 von ihnen haben eine gemeinsame Kante.

 

Jmol–Visualisierung der Oktaederlücken ansehen

 

Die Oktaederlücken der kubisch dichtesten Kugelpackung liegen im Mittelpunkt des Würfels und auf den Kantenmitten.

Einschub – Wieviel Platz nehmen die Lücken ein ? Die Tetraeder der Tetraederlücken haben als Kantenlänge eine halbe Flächendiagonale. Diese beträgt 0,5 ∗ sqrt(2). Das Volumen eines Tetraeders ist gemäß Formelsammlung V = sqrt(2)/12 ∗ a3, wobei a die Kantenlänge ist. Man erhält V = 1/24 für das Volumen eines solchen Tetraeders und V = 8/24 = 1/3 für das Volumen der 8 Tetraeder.

Die quadratische Pyramide, die einen halben Oktaeder bildet, hat als Kantenlänge ebenfalls eine halbe Flächendiagonale, also wieder 0,5 ∗ sqrt(2). Ihre Höhe ist 0,5. Gemäß Formelsammlung beträgt das Volumen des halben Oktaeders V = 1/3 ∗ a2 ∗ h. Man erhält V = 1/12. Die Elementarzelle enthält 4 Oktaederlücken, also 8 halbe. Deren Volumen ist V = 8/12 = 2/3.

Das Gesamtvolumen aller Lücken ist dann V = 1/3 + 2/3 = 1. Die Lücken nehmen die gesamte Elementarzelle ein. Und wo sind die Atome ?

Die Tetraederlücken in der hexagonal dichtesten Packung

Die Seite ist schon so lang. Und es ist schon spät, und zum Nachrechnen braucht man den Sinus. Deshalb hier nur die Ergebnisse. In der Elementarzelle sind 4 Tetraederlücken an den Stellen (1/1/0,375), (1/1/0,625), (0,333/0,667/0,125) und (0,333/0,667/0,875). Die ersten beiden (in der Abbildung dunkelblau) haben eine Fläche gemeinsam. Stapelt man nach oben weiter, so hat die obere Lücke dieses Stapels mit der unteren des nächsten Stapels nur einen Punkt gemeinsam. Die anderen beiden (in der Abbildung hellblau) haben nur einen Punkt gemeinsam. Stapelt man auch hier weiter, hat die obere Lücke dieses Stapels mit der unteren des nächsten Stapels eine Fläche gemeinsam. Die erste und dritte, sowie die zweite und vierte haben eine gemeinsame Kante, so wie man es von der kubisch dichtesten Packung kennt.

Man kann also die Tetraederlücken in 2 Klassen einteilen, in der Abbildung dunkelblau und hellblau. Jede Tetraederlücke hat mit den Lücken der gleichen Klasse eine Fläche oder einen Punkt gemeinsam, mit den Lücken der anderen Klasse eine Kante.

Die Oktaederlücken in der hexagonal dichtesten Packung

In der Elementarzelle sind 2 Atome und damit auch 2 Oktaederlücken an den Stellen (0,667/0,333/0,25) und (0,667/0,333/0,75). Sie haben eine Fläche gemeinsam.

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Nachbarschaftliches

Die kubisch dichteste Packung

Die Atome haben als nächste Nachbarn :

Die Nachbarschaft der Tetraederlücken besteht aus :

Die Nachbarn der Oktaederlücken sind :

Die hexagonal dichteste Packung

Die Atome haben als nächste Nachbarn :

Die Nachbarschaft der Tetraederlücken besteht aus :

Die Nachbarn der Oktaederlücken sind :

 

 

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